Алгебра Примеры

y = {(x - 1)}^{2} - 5

$y = {(x - 1)}^{2} - 5$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

a

$a$ ,

h

$h$ и

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 1

$h = 1$

k = - 5

$k = - 5$

Этап 1.2

Поскольку

a

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину

(h, k)

$(h, k)$ .

(1, - 5)

$(1, - 5)$

Этап 1.4

Найдем

p

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение

a

$a$ в формулу.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(1, - \frac{19}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 1$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{21}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(1, - 5)$

Фокус:

$(1, - \frac{19}{4})$

Ось симметрии:

$x = 1$

Директриса:

$y = - \frac{21}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(1, - 5)$

Фокус:

$(1, - \frac{19}{4})$

Ось симметрии:

$x = 1$

Директриса:

$y = - \frac{21}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 4$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 2$ на

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 4$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим

$0$ и

$0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Этап 2.2.2.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$f (0) = - 4$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

$- 4$ .

$- 4$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = 0$ равно

$- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 4$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Этап 2.5.1.2

Умножим

$- 2$ на

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 - 4$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим

$1$ и

$2$ .

$f (- 1) = 3 - 4$

Этап 2.5.2.2

Вычтем

$4$ из

$3$ .

$f (- 1) = - 1$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

$- 1$ .

$- 1$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = - 1$ равно

$- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 - 4$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$f (2) = 4 - 2 \cdot 2 - 4$

Этап 2.8.1.2

Умножим

$- 2$ на

$2$ .

$f (2) = 4 - 4 - 4$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем

$4$ из

$4$ .

$f (2) = 0 - 4$

Этап 2.8.2.2

Вычтем

$4$ из

$0$ .

$f (2) = - 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

$- 4$ .

$- 4$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 2$ равно

$- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$3$ .

$f (3) = {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем

$3$ в степень

$2$ .

$f (3) = 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 2.11.1.2

Умножим

$- 2$ на

$3$ .

$f (3) = 9 - 6 - 4$

Этап 2.11.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем

$6$ из

$9$ .

$f (3) = 3 - 4$

Этап 2.11.2.2

Вычтем

$4$ из

$3$ .

$f (3) = - 1$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

$- 1$ .

$- 1$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 3$ равно

$- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(1, - 5)$

Фокус:

$(1, - \frac{19}{4})$

Ось симметрии:

$x = 1$

Директриса:

$y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & - 4 \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 4 \\ 3 & - 1 \end{array}$

Этап 4