Алгебра Примеры

$16 x^{4} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$16 {(x^{2})}^{2} - 41 x^{2} + 25 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 16 \cdot 25 = 400$ , а сумма — $b = - 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 41$ из $- 41 u$ .

$16 u^{2} - 41 u + 25 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 41$ как $- 16$ плюс $- 25$

$16 u^{2} + (- 16 - 25) u + 25 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$16 u^{2} - 16 u - 25 u + 25 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(16 u^{2} - 16 u) - 25 u + 25 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$16 u (u - 1) - 25 (u - 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$(u - 1) (16 u - 25) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Этап 5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) (16 x^{2} - 25) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) (16 x^{2} - 25) = 0$

Этап 7

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 25) = 0$

Этап 8

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(4 x)}^{2} - 5^{2}) = 0$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 x$ и $b = 5$ .

$(x + 1) (x - 1) ((4 x + 5) (4 x - 5)) = 0$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$

Этап 10

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$4 x + 5 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Этап 11

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 11.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 12

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 12.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 13

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $4 x + 5$ к $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Этап 13.2

Решим $4 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 5$

Этап 13.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 13.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Этап 13.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Этап 13.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{4}$

Этап 14

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 14.2

Решим $4 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 14.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 14.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 14.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 15

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (4 x + 5) (4 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - \frac{5}{4}, \frac{5}{4}$