Алгебра Примеры

$z^{4} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Этап 1

Перепишем $z^{4}$ в виде ${(z^{2})}^{2}$ .

${(z^{2})}^{2} - 13 z^{2} + 36 = 0$

Этап 2

Пусть $u = z^{2}$ . Подставим $u$ вместо $z^{2}$ для всех.

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 13 u + 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $36$ , а сумма — $- 13$ .

$- 9, - 4$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $z^{2}$ .

$(z^{2} - 9) (z^{2} - 4) = 0$

Этап 5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(z^{2} - 3^{2}) (z^{2} - 4) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 3$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 4) = 0$

Этап 7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(z + 3) (z - 3) (z^{2} - 2^{2}) = 0$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 2$ .

$(z + 3) (z - 3) ((z + 2) (z - 2)) = 0$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z + 3 = 0$

$z - 3 = 0$

$z + 2 = 0$

$z - 2 = 0$

Этап 10

Приравняем $z + 3$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $z + 3$ к $0$ .

$z + 3 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$z = - 3$

Этап 11

Приравняем $z - 3$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $z - 3$ к $0$ .

$z - 3 = 0$

Этап 11.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$z = 3$

Этап 12

Приравняем $z + 2$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $z + 2$ к $0$ .

$z + 2 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$z = - 2$

Этап 13

Приравняем $z - 2$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $z - 2$ к $0$ .

$z - 2 = 0$

Этап 13.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$z = 2$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z + 3) (z - 3) (z + 2) (z - 2) = 0$ верно.

$z = - 3, 3, - 2, 2$