Алгебра Примеры

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} = 5$

Этап 1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x + 3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x + 3}{x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} - 5 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{x - 2}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x - 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x + 3}{x - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{x - 2}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 5 = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x - 2}{x}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x - 1) x} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x - 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x - 1)} + \frac{(x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 3) x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + (x - 2) (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.3

Развернем $(x - 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + x (x - 1) - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 x + x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.4.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.4.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.4.1.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - x - 2 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.4.2

Вычтем $2 x$ из $- x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x + x^{2} - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.5

Добавим $x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 3 x + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.7

Добавим $2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 x^{2} + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.8

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.5.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} - 5 \cdot \frac{x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 5$ и $\frac{x (x - 1)}{x (x - 1)}$ .

$\frac{2 (x^{2} + 1)}{x (x - 1)} + \frac{- 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x^{2} + 1) - 5 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 1 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x (x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} - 5 x \cdot - 1}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.5

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 - 5 x^{2} + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6

Вычтем $5 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 2 + 5 x}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.7

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.8.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 3 \cdot 2 = - 6$ , а сумма — $b = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.8.1.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 5 (x) + 2}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8.1.2

Запишем $5$ как $- 1$ плюс $6$

$\frac{- 3 x^{2} + (- 1 + 6) x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x^{2} - 1 x + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.8.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- 3 x^{2} - 1 x) + 6 x + 2}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- 3 x - 1) - 2 (- 3 x - 1)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 3 x - 1$ .

$\frac{(- 3 x - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.11

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (1)) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- (3 x + 1)$ в виде $- 1 (3 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(3 x + 1) (x - 2)}{x (x - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(3 x + 1) (x - 2) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 4.2.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 4.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 4.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 4.3

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 2$