Алгебра Примеры

$8 x^{3} = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{3} - 1 = 0$

Этап 2

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

${(2 x)}^{3} - 1 = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(2 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = 1$ .

$(2 x - 1) ({(2 x)}^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$(2 x - 1) (2^{2} x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $1$ .

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4

Единица в любой степени равна единице.

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $4 x^{2} + 2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $4 x^{2} + 2 x + 1$ к $0$ .

$4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $4 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 8.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 8.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.4.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Этап 8.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Этап 8.2.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 8.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 8.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.5.5

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Этап 8.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Этап 8.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$