Алгебра Примеры

$\frac{15 m^{2} n - 3 m n^{2}}{15 m^{2} + 57 m n - 12 n^{2}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3 m n$ из $15 m^{2} n - 3 m n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3 m n$ из $15 m^{2} n$ .

$\frac{3 m n (5 m) - 3 m n^{2}}{15 m^{2} + 57 m n - 12 n^{2}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $3 m n$ из $- 3 m n^{2}$ .

$\frac{3 m n (5 m) + 3 m n (- 1 n)}{15 m^{2} + 57 m n - 12 n^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $3 m n$ из $3 m n (5 m) + 3 m n (- 1 n)$ .

$\frac{3 m n (5 m - 1 n)}{15 m^{2} + 57 m n - 12 n^{2}}$

Этап 1.2

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{15 m^{2} + 57 m n - 12 n^{2}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3$ из $15 m^{2} + 57 m n - 12 n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15 m^{2}$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2}) + 57 m n - 12 n^{2}}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $57 m n$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2}) + 3 (19 m n) - 12 n^{2}}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 12 n^{2}$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2}) + 3 (19 m n) + 3 (- 4 n^{2})}$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (5 m^{2}) + 3 (19 m n)$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} + 19 m n) + 3 (- 4 n^{2})}$

Этап 2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (5 m^{2} + 19 m n) + 3 (- 4 n^{2})$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} + 19 m n - 4 n^{2})}$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 4 = - 20$ , а сумма — $b = 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} - 4 n^{2} + 19 m n)}$

Этап 2.2.1.2

Изменим порядок $- 4 n^{2}$ и $19 m n$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} + 19 m n - 4 n^{2})}$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $19$ из $19 m n$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} + 19 (m n) - 4 n^{2})}$

Этап 2.2.1.4

Запишем $19$ как $- 1$ плюс $20$

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} + (- 1 + 20) (m n) - 4 n^{2})}$

Этап 2.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} - 1 (m n) + 20 (m n) - 4 n^{2})}$

Этап 2.2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m^{2} - 1 m n + 20 m n - 4 n^{2})}$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 ((5 m^{2} - 1 m n) + 20 m n - 4 n^{2})}$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (m (5 m - 1 n) + 4 n (5 m - n))}$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 m - 1 n$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 ((5 m - 1 n) (m + 4 n))}$

Этап 2.3

Перепишем $- 1 n$ в виде $- n$ .

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m - n) (m + 4 n)}$

Этап 3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 m n (5 m - n)}{3 (5 m - n) (m + 4 n)}$

Этап 3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m n (5 m - n)}{(5 m - n) (m + 4 n)}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $5 m - n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{m n (5 m - n)}{(5 m - n) (m + 4 n)}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m n}{m + 4 n}$