Алгебра Примеры

$| x^{2} - 2 x | = 1$

Этап 1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x^{2} - 2 x = \pm 1$

Этап 2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x^{2} - 2 x = 1$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 2.7

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x^{2} - 2 x = - 1$

Этап 2.8

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Этап 2.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Этап 2.9.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.9.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Этап 2.9.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Этап 2.10

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.11

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.12

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, 1$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, 1$

Десятичная форма:

$x = 2.41421356 \dots, - 0.41421356 \dots, 1$