Алгебра Примеры

$x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$

Этап 1

Разложим $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

Этап 1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} + 7 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 15$

Этап 1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 + 7 \cdot 1^{2} + 7 \cdot 1 - 15$

Этап 1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 7 \cdot 1 + 7 \cdot 1 - 15$

Этап 1.3.4

Умножим $7$ на $1$ .

$1 + 7 + 7 \cdot 1 - 15$

Этап 1.3.5

Добавим $1$ и $7$ .

$8 + 7 \cdot 1 - 15$

Этап 1.3.6

Умножим $7$ на $1$ .

$8 + 7 - 15$

Этап 1.3.7

Добавим $8$ и $7$ .

$15 - 15$

Этап 1.3.8

Вычтем $15$ из $15$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15}{x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$7 x$

$15$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} - 8 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							+	$15 x$	-	$15$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 15$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$7 x$	-	$15$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	+	$7 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							+	$15 x$	-	$15$
							-	$15 x$	+	$15$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 8 x + 15$

Этап 1.6

Запишем $x^{3} + 7 x^{2} + 7 x - 15$ в виде набора множителей.

$(x - 1) (x^{2} + 8 x + 15)$

Этап 2

Разложим $x^{2} + 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $x^{2} + 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $8$ .

$3, 5$

Этап 2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) ((x + 3) (x + 5))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x + 3) (x + 5)$