Алгебра Примеры

$\frac{3 x}{x + 1} = \frac{12}{x^{2} - 1} + 2$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\frac{12}{x^{2} - 1}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} = 2$

Этап 1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{x^{2} - 1^{2}} - 2 = 0$

Этап 2.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{3 x}{x + 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{3 x}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.3

Умножим $\frac{3 x}{x + 1}$ на $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x (x - 1) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (x - 1) - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x (x - 1)$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) - 12}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12$ .

$\frac{3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (x (x - 1)) + 3 \cdot - 4$ .

$\frac{3 (x (x - 1) - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.4

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{3 (x^{2} - 1 \cdot x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.5.5

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} - 2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 2$ и $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - x - 4)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 (x^{2} - x - 4) - 2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot - 4 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.2.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 + (- 2 x - 2) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.5

Развернем $(- 2 x - 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x (x - 1) - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.1.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x - 2 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2 x - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6.3

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{3 x^{2} - 3 x - 12 - 2 x^{2} + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 12 + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.8

Добавим $- 12$ и $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.9

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 2.9.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$(x - 5) (x + 2) = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 4.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 4.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 5) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 5, - 2$