Алгебра Примеры

$\frac{x}{x^{2} - 16} - \frac{8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x}{x^{2} - 4^{2}} - \frac{8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Этап 1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{8}{x^{2} + 5 x + 4}$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + 5 x + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $5$ .

$1, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$

Этап 3

Чтобы записать $- \frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x}{(x + 4) (x - 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Этап 4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 4) (x - 4) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x}{(x + 4) (x - 4)}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x - 4) (x + 1)} - \frac{8}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{8}{(x + 1) (x + 4)}$ на $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x - 4) (x + 1)} - \frac{8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $(x + 4) (x - 4) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)} - \frac{8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x + 1) - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x - 8 (x - 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + x - 8 x - 8 \cdot - 4}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.5

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$\frac{x^{2} + x - 8 x + 32}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$

Этап 6.6

Вычтем $8 x$ из $x$ .

$\frac{x^{2} - 7 x + 32}{(x + 1) (x + 4) (x - 4)}$