Алгебра Примеры

$2 x = \sqrt{7 x + 2}$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{7 x + 2}$ из обеих частей уравнения.

$2 x - \sqrt{7 x + 2} = 0$

Этап 2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{7 x + 2} = - 2 x$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{7 x + 2})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x + 2}$ в виде ${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(- {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Умножим ${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(7 x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(7 x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(7 x + 2)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

$7 x + 2 = {(- 2 x)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(- 2 x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Применим правило умножения к $- 2 x$ .

$7 x + 2 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Этап 4.3.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$7 x + 2 = 4 x^{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $4 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$7 x + 2 - 4 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $7 x + 2 - 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Изменим порядок выражения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Перенесем $2$ .

$7 x - 4 x^{2} + 2 = 0$

Этап 5.2.1.1.2

Изменим порядок $7 x$ и $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 7 x + 2 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 7 x + 2 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $7 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 7 x) + 2 = 0$

Этап 5.2.1.4

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (4 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot - 2 = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} - 7 x) - 1 (- 2)$ .

$- (4 x^{2} - 7 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 2 = - 8$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$- (4 x^{2} - 7 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $- 7$ как $1$ плюс $- 8$

$- (4 x^{2} + (1 - 8) x - 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (4 x^{2} + 1 x - 8 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- (4 x^{2} + x - 8 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((4 x^{2} + x) - 8 x - 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (4 x + 1) - 2 (4 x + 1)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x + 1$ .

$- ((4 x + 1) (x - 2)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (4 x + 1) (x - 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $4 x + 1$ к $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $4 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 1$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 5.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (4 x + 1) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{4}, 2$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $2 x - \sqrt{7 x + 2} = 0$ истинным.

$x = 2$