Алгебра Примеры

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{y^{2} - 16}$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{y^{2} - 4^{2}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 4$ .

$\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)}$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 4, y + 4, (y + 4) (y - 4)$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 2.5

Множителем $y - 4$ является само значение $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.6

Множителем $y + 4$ является само значение $y + 4$ .

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.7

Множителем $y - 4$ является само значение $y - 4$ .

$(y - 4) = y - 4$

$(y - 4)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

НОК $y - 4, y + 4, y + 4, y - 4$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(y - 4) (y + 4)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)}$ умножим на $(y - 4) (y + 4)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)}$ на $(y - 4) (y + 4)$ .

$\frac{y}{y - 4} ((y - 4) (y + 4)) - \frac{4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель $y - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y - 4} ((y - 4) (y + 4)) - \frac{4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y (y + 4) - \frac{4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y + y \cdot 4 - \frac{4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.3

Умножим $y$ на $y$ .

$y^{2} + y \cdot 4 - \frac{4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.4

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$y^{2} + 4 \cdot y - \frac{4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.5

Сократим общий множитель $y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{y + 4}$ в числитель.

$y^{2} + 4 y + \frac{- 4}{y + 4} ((y - 4) (y + 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.5.2

Вынесем множитель $y + 4$ из $(y - 4) (y + 4)$ .

$y^{2} + 4 y + \frac{- 4}{y + 4} ((y + 4) (y - 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 4 y + \frac{- 4}{y + 4} ((y + 4) (y - 4)) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 4 y - 4 (y - 4) = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} + 4 y - 4 y - 4 \cdot - 4 = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.1.7

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$y^{2} + 4 y - 4 y + 16 = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} + 4 y - 4 y + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $4 y$ из $4 y$ .

$y^{2} + 0 + 16 = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.2.2.2

Добавим $y^{2}$ и $0$ .

$y^{2} + 16 = \frac{32}{(y + 4) (y - 4)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $(y - 4) (y + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $(y - 4) (y + 4)$ из $(y + 4) (y - 4)$ .

$y^{2} + 16 = \frac{32}{(y - 4) (y + 4) (1)} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} + 16 = \frac{32}{(y - 4) (y + 4) \cdot 1} ((y - 4) (y + 4))$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 16 = 32$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} = 32 - 16$

Этап 4.1.2

Вычтем $16$ из $32$ .

$y^{2} = 16$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16}$

Этап 4.3

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm 4$

Этап 4.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = 4$

Этап 4.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - 4$

Этап 4.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = 4, - 4$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\frac{y}{y - 4} - \frac{4}{y + 4} = \frac{32}{y^{2} - 16}$ истинным.

$Нет решения$