Алгебра Примеры

$f (x) = 9 - {(x - 4)}^{2}$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок $9$ и $- {(x - 4)}^{2}$ .

$y = - {(x - 4)}^{2} + 9$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 9$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, 9)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, \frac{35}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 4$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{37}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(4, 9)$

Фокус: $(4, \frac{35}{4})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = \frac{37}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(4, 9)$

Фокус: $(4, \frac{35}{4})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = \frac{37}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = - {(3)}^{2} + 8 (3) - 7$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 8 (3) - 7$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (3) = - 9 + 8 (3) - 7$

Этап 2.2.1.3

Умножим $8$ на $3$ .

$f (3) = - 9 + 24 - 7$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 9$ и $24$ .

$f (3) = 15 - 7$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $7$ из $15$ .

$f (3) = 8$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 3$ равно $8$ .

$y = 8$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 8 (2) - 7$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 8 (2) - 7$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = - 4 + 8 (2) - 7$

Этап 2.5.1.3

Умножим $8$ на $2$ .

$f (2) = - 4 + 16 - 7$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $- 4$ и $16$ .

$f (2) = 12 - 7$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $7$ из $12$ .

$f (2) = 5$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 2$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{2} + 8 (5) - 7$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 8 (5) - 7$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f (5) = - 25 + 8 (5) - 7$

Этап 2.8.1.3

Умножим $8$ на $5$ .

$f (5) = - 25 + 40 - 7$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $- 25$ и $40$ .

$f (5) = 15 - 7$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $7$ из $15$ .

$f (5) = 8$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $8$ .

$8$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 5$ равно $8$ .

$y = 8$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = - {(6)}^{2} + 8 (6) - 7$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 8 (6) - 7$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f (6) = - 36 + 8 (6) - 7$

Этап 2.11.1.3

Умножим $8$ на $6$ .

$f (6) = - 36 + 48 - 7$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Добавим $- 36$ и $48$ .

$f (6) = 12 - 7$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $7$ из $12$ .

$f (6) = 5$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 6$ равно $5$ .

$y = 5$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ 5 & 8 \\ 6 & 5 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(4, 9)$

Фокус: $(4, \frac{35}{4})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = \frac{37}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 5 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ 5 & 8 \\ 6 & 5 \end{array}$

Этап 4