Алгебра Примеры

$- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{3}$ .

$2 (- x^{3}) + 14 x^{2} - 24 x + 20$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $14 x^{2}$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) - 24 x + 20$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 24 x$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 20$

Этап 1.4

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

Этап 1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3}) + 2 (7 x^{2})$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (10)$

Этап 1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3} + 7 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$

Этап 1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x) + 2 (10)$ .

$2 (- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10)$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Этап 2.1.3

Подставим $5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Подставим $5$ в многочлен.

$- 5^{3} + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Этап 2.1.3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$- 1 \cdot 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $125$ .

$- 125 + 7 \cdot 5^{2} - 12 \cdot 5 + 10$

Этап 2.1.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$- 125 + 7 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 10$

Этап 2.1.3.5

Умножим $7$ на $25$ .

$- 125 + 175 - 12 \cdot 5 + 10$

Этап 2.1.3.6

Добавим $- 125$ и $175$ .

$50 - 12 \cdot 5 + 10$

Этап 2.1.3.7

Умножим $- 12$ на $5$ .

$50 - 60 + 10$

Этап 2.1.3.8

Вычтем $60$ из $50$ .

$- 10 + 10$

Этап 2.1.3.9

Добавим $- 10$ и $10$ .

$0$

Этап 2.1.4

Поскольку $5$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10}{x - 5}$

Этап 2.1.5

Разделим $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ на $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$7 x^{2}$

$12 x$

$10$

Этап 2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$

Этап 2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			-	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Этап 2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{3} + 5 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Этап 2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

Этап 2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Этап 2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} - 10 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Этап 2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$

Этап 2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

Этап 2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$

Этап 2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							-	$2 x$	+	$10$

Этап 2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 10$ .

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$

Этап 2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$2$
$x$	-	$5$	-	$x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$12 x$	+	$10$
			+	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$12 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$2 x$	+	$10$
							+	$2 x$	-	$10$
										$0$

Этап 2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- x^{2} + 2 x - 2$

Этап 2.1.6

Запишем $- x^{3} + 7 x^{2} - 12 x + 10$ в виде набора множителей.

$2 ((x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 5) (- x^{2} + 2 x - 2)$

Этап 3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} + 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) + 2 x - 2)$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 2)$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 (2))$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (- 2 x)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x) - 1 (2))$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} - 2 x) - 1 (2)$ .

$2 (x - 5) (- (x^{2} - 2 x + 2))$

Этап 3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x - 5) \cdot - 1 (x^{2} - 2 x + 2)$

Этап 4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- (2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 ((x - 5) (x^{2} - 2 x + 2))$

Этап 5

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 (x - 5) (x^{2} - 2 x + 2)$