Алгебра Примеры

$x^{4} - 6 x^{2} - 27 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 6 x^{2} - 27 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 6 u - 27 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 6 u - 27$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 27$ , а сумма — $- 6$ .

$- 9, 3$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 9) (u + 3) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 9) (x^{2} + 3) = 0$

Этап 5

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 3) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 8

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 9

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 9.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 10

Приравняем $x^{2} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x^{2} + 3$ к $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Этап 10.2

Решим $x^{2} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 3$

Этап 10.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Этап 10.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Этап 10.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Этап 10.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Этап 10.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{3}$

Этап 10.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{3}$

Этап 10.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Этап 11

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x^{2} + 3) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$