Алгебра Примеры

$\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 5) (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Этап 1.2

Развернем $(x - 5) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x + 2) - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2)) = \ln (x - 14)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2) = \ln (x - 14)$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - 5 x - 10) = \ln (x - 14)$

Этап 1.3.2

Вычтем $5 x$ из $2 x$ .

$\ln (x^{2} - 3 x - 10) = \ln (x - 14)$

Этап 2

Чтобы уравнение было равносильным, аргументы логарифмов с обеих сторон уравнения должны быть равными.

$x^{2} - 3 x - 10 = x - 14$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 3 x - 10 - x = - 14$

Этап 3.1.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 x - 10 = - 14$

Этап 3.2

Добавим $14$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 4 x - 10 + 14 = 0$

Этап 3.3

Добавим $- 10$ и $14$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 3.4.3

Перепишем многочлен.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Этап 3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.6

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\ln (x - 5) + \ln (x + 2) = \ln (x - 14)$ истинным.

$Нет решения$