Алгебра Примеры

$x + \sqrt{x} = 20$

Этап 1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x + \sqrt{x} - 20 = 0$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Этап 3

Перепишем $x$ в виде ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{\frac{1}{2}} - 20 = 0$

Этап 4

Пусть $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$u^{2} + u - 20 = 0$

Этап 5

Разложим $u^{2} + u - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $1$ .

$- 4, 5$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 4) (u + 5) = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Этап 8

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} - 4$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = 4$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 4^{2}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 4^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 4^{2}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = 16$

Этап 9

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $x^{\frac{1}{2}} + 5$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$

Этап 9.2

Решим $x^{\frac{1}{2}} + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{2}} = - 5$

Этап 9.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 9.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 5)}^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 5)}^{2}$

Этап 9.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = 25$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ верно.

$x = 16, 25$

Этап 11

Исключим решения, которые не делают $(x^{\frac{1}{2}} - 4) (x^{\frac{1}{2}} + 5) = 0$ истинным.

$x = 16$