Алгебра Примеры

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} = \frac{1}{12}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{12}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{1}{2 x - 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{2 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2 x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x - 1) (2 x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{2 x - 1}$ на $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{2 x + 1}$ на $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(2 x - 1) (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{2 x - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x + 1 - (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x + 1 - (2 x) - - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x - - 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.5.4

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{0 + 1 + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.5.5

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1 + 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 2.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 3

Чтобы записать $\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{12}{12} - \frac{1}{12} = 0$

Этап 4

Чтобы записать $- \frac{1}{12}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

$\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{12}{12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{2}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ на $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12} - \frac{1}{12} \cdot \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{12}$ на $\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$ .

$\frac{2 \cdot 12}{(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 ((2 x + 1) (2 x - 1))} = 0$

Этап 5.3

Изменим порядок множителей в $(2 x + 1) (2 x - 1) \cdot 12$ .

$\frac{2 \cdot 12}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 ((2 x + 1) (2 x - 1))} = 0$

Этап 5.4

Изменим порядок множителей в $12 ((2 x + 1) (2 x - 1))$ .

$\frac{2 \cdot 12}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \cdot 12 - (2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $12$ .

$\frac{24 - (2 x + 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 + (- (2 x) - 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{24 + (- 2 x - 1 \cdot 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{24 + (- 2 x - 1) (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.5

Развернем $(- 2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 - 2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{24 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{24 - 2 \cdot (2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{24 - 2 \cdot (2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{24 - 2 \cdot (2 x^{2}) - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 2 x - 2 x + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.2

Вычтем $2 x$ из $2 x$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 0 + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.6.3

Добавим $- 4 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{24 - 4 x^{2} + 1}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.7

Добавим $24$ и $1$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 25}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.8

Перепишем $- 4 x^{2} + 25$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 5^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.8.2

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- {(2 x)}^{2} + 5^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.8.3

Изменим порядок $- {(2 x)}^{2}$ и $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - {(2 x)}^{2}}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.8.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = 2 x$ .

$\frac{(5 + 2 x) (5 - (2 x))}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 7.8.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(5 + 2 x) (5 - 2 x)}{12 (2 x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Этап 8

Приравняем числитель к нулю.

$(5 + 2 x) (5 - 2 x) = 0$

Этап 9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 + 2 x = 0$

$5 - 2 x = 0$

Этап 9.2

Приравняем $5 + 2 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $5 + 2 x$ к $0$ .

$5 + 2 x = 0$

Этап 9.2.2

Решим $5 + 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 9.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 9.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 9.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 9.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 9.3

Приравняем $5 - 2 x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Приравняем $5 - 2 x$ к $0$ .

$5 - 2 x = 0$

Этап 9.3.2

Решим $5 - 2 x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 5$

Этап 9.3.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 9.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 9.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 9.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{2}$

Этап 9.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 + 2 x) (5 - 2 x) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{5}{2}$