Алгебра Примеры

$x^{2} - y^{2} = 4$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $4$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 2$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 4}$

Этап 5.3.3

Добавим $4$ и $4$ .

$\sqrt{8}$

Этап 5.3.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\sqrt{4 (2)}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Этап 5.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину гиперболы можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2, 0)$

Этап 6.3

Вторую вершину гиперболы можно найти, вычтя $a$ из $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.4

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, 0)$

Этап 6.5

Вершины гиперболы имеют вид $(h \pm a, k)$ . Гиперболы имеют две вершины.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

Этап 7.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

Этап 7.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

Этап 8.3.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

Этап 8.3.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

Этап 8.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

Этап 8.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 8.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 8.3.2.2

Разделим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$\sqrt{2}$

Этап 9

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Этап 10

Упростим $1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $1 \cdot x$ и $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Этап 10.2

Умножим $x$ на $1$ .

$y = x$

Этап 11

Упростим $- 1 \cdot x + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $- 1 \cdot x$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Этап 11.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x$

Этап 12

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = x, y = - x$

Этап 13

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа гиперболы.

Центр: $(0, 0)$

Вершины: $(2, 0), (- 2, 0)$

Фокусы: $(2 \sqrt{2}, 0), (- 2 \sqrt{2}, 0)$

Эксцентриситет: $\sqrt{2}$

Фокальный параметр: $\sqrt{2}$

Асимптоты: $y = x$ , $y = - x$

Этап 14