Алгебра Примеры

${(2 x + 1)}^{4}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(2 x)}^{4 - k} \cdot {(1)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} \cdot {(2 x)}^{4 - 0} \cdot {(1)}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} \cdot {(2 x)}^{4 - 1} \cdot {(1)}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} \cdot {(2 x)}^{4 - 2} \cdot {(1)}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} \cdot {(2 x)}^{4 - 3} \cdot {(1)}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} \cdot {(2 x)}^{4 - 4} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(2 x)}^{4} \cdot {(1)}^{0} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $1$ на ${(1)}^{0}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перенесем ${(1)}^{0}$ .

${(1)}^{0} \cdot 1 \cdot {(2 x)}^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2

Умножим ${(1)}^{0}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

${(1)}^{0} \cdot 1^{1} \cdot {(2 x)}^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1^{0 + 1} \cdot {(2 x)}^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.1.3

Добавим $0$ и $1$ .

$1^{1} \cdot {(2 x)}^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.2

Упростим $1^{1} \cdot {(2 x)}^{4}$ .

${(2 x)}^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $2 x$ .

$2^{4} x^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot {(2 x)}^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.5

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot (2^{3} x^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$16 x^{4} + 4 \cdot (8 x^{3}) \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.7

Умножим $8$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot {(1)}^{1} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.8

Найдем экспоненту.

$16 x^{4} + 32 x^{3} \cdot 1 + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.9

Умножим $32$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 \cdot {(2 x)}^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $2 x$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 \cdot (2^{2} x^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.11

Возведем $2$ в степень $2$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 6 \cdot (4 x^{2}) \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.12

Умножим $4$ на $6$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} \cdot {(1)}^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.13

Единица в любой степени равна единице.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} \cdot 1 + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.14

Умножим $24$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 4 \cdot {(2 x)}^{1} \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.15

Упростим.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 4 \cdot (2 x) \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.16

Умножим $2$ на $4$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x \cdot {(1)}^{3} + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.17

Единица в любой степени равна единице.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x \cdot 1 + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.18

Умножим $8$ на $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1 \cdot {(2 x)}^{0} \cdot {(1)}^{4}$

Этап 4.19

Умножим $1$ на ${(1)}^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.1

Перенесем ${(1)}^{4}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + {(1)}^{4} \cdot 1 \cdot {(2 x)}^{0}$

Этап 4.19.2

Умножим ${(1)}^{4}$ на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.19.2.1

Возведем $1$ в степень $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + {(1)}^{4} \cdot 1^{1} \cdot {(2 x)}^{0}$

Этап 4.19.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{4 + 1} \cdot {(2 x)}^{0}$

Этап 4.19.3

Добавим $4$ и $1$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{5} \cdot {(2 x)}^{0}$

Этап 4.20

Упростим $1^{5} \cdot {(2 x)}^{0}$ .

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1^{5}$

Этап 4.21

Единица в любой степени равна единице.

$16 x^{4} + 32 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x + 1$