Алгебра Примеры

$\frac{1 + i}{1 - i}$

Этап 1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{1 + i}{1 - i}$ на комплексно сопряженное $1 - i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{1 + i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i}$

Этап 2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим.

$\frac{(1 + i) (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(1 + i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + i) + i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i (1 + i)}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1 + i + i \cdot 1 + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.3

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1 + i + i + i i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.4.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.4.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{1} i^{1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + i + i + i^{1 + 1}}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.1.5

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + i + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.3

Добавим $0$ и $i$ .

$\frac{i + i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.2.2.4

Добавим $i$ и $i$ .

$\frac{2 i}{(1 - i) (1 + i)}$

Этап 2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(1 - i) (1 + i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i}{1 (1 + i) - i (1 + i)}$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i (1 + i)}$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 i}{1 \cdot 1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i \cdot 1 - i i}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Этап 2.3.2.3

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Этап 2.3.2.4

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Этап 2.3.2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Этап 2.3.2.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Этап 2.3.2.7

Вычтем $i$ из $1 i$ .

$\frac{2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Этап 2.3.2.8

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 i}{1 - i^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - - 1}$

Этап 2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1}$

Этап 2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 i}{2}$

Этап 3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 i}{2}$

Этап 3.2

Разделим $i$ на $1$ .

$i$