Алгебра Примеры

$27 x^{3} + 1 = 0$

Этап 1

Перепишем $27 x^{3}$ в виде ${(3 x)}^{3}$ .

${(3 x)}^{3} + 1 = 0$

Этап 2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(3 x)}^{3} + 1^{3} = 0$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$(3 x + 1) ({(3 x)}^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $3 x$ .

$(3 x + 1) (3^{2} x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1^{2}) = 0$

Этап 4.5

Единица в любой степени равна единице.

$(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 7

Приравняем $9 x^{2} - 3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $9 x^{2} - 3 x + 1$ к $0$ .

$9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $9 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 9$ , $b = - 3$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 36$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 7.2.3.3

Упростим $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.2.2

Умножим $- 36$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 7.2.4.3

Упростим $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.2.2

Умножим $- 36$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Этап 7.2.5.2

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

Этап 7.2.5.3

Упростим $\frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 1) (9 x^{2} - 3 x + 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}$