Алгебра Примеры

$x^{9} - x^{6} - x^{3} + 1$

Этап 1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{9} - x^{6}) - x^{3} + 1$

Этап 1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{6} (x^{3} - 1) - (x^{3} - 1)$

Этап 2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x^{3} - 1$ .

$(x^{3} - 1) (x^{6} - 1)$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$(x^{3} - 1^{3}) (x^{6} - 1)$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) (x^{6} - 1)$

Этап 5.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{6} - 1)$

Этап 6

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1)$

Этап 7

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ({(x^{2})}^{3} - 1^{3})$

Этап 8

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 9.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}))$

Этап 9.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) ((x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}))$

Этап 9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 10.2

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 10.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 1)}^{1 + 1} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 10.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 11

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2})$

Этап 12

Единица в любой степени равна единице.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + x^{2} + 1)$

Этап 13

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем $x^{4} + x^{2} + 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем средний член.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1)$

Этап 13.1.2

Переставляем члены.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2})$

Этап 13.1.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2})$

Этап 13.1.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2} + 1$ и $b = x$ .

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x))$

Этап 13.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Изменим порядок членов.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x))$

Этап 13.1.5.2

Изменим порядок членов.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1))$

Этап 13.2

Избавимся от ненужных скобок.

${(x - 1)}^{2} (x^{2} + x + 1) (x + 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Этап 14

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Возведем $x^{2} + x + 1$ в степень $1$ .

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} (x^{2} + x + 1)) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Этап 14.2

Возведем $x^{2} + x + 1$ в степень $1$ .

${(x - 1)}^{2} ({(x^{2} + x + 1)}^{1} {(x^{2} + x + 1)}^{1}) (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Этап 14.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$

Этап 14.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x - 1)}^{2} {(x^{2} + x + 1)}^{2} (x + 1) (x^{2} - x + 1)$