Алгебра Примеры

$\sqrt[4]{x^{3}} = 64$

Этап 1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4} = 64^{4}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x^{3}}$ в виде $x^{\frac{3}{4}}$ .

${(x^{\frac{3}{4}})}^{4} = 64^{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 64^{4}$

Этап 2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} = 64^{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возведем $64$ в степень $4$ .

$x^{3} = 16777216$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $16777216$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 16777216 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем $16777216$ в виде $256^{3}$ .

$x^{3} - 256^{3} = 0$

Этап 3.2.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 256$ .

$(x - 256) (x^{2} + x \cdot 256 + 256^{2}) = 0$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перенесем $256$ влево от $x$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 256^{2}) = 0$

Этап 3.2.3.2

Возведем $256$ в степень $2$ .

$(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$

Этап 3.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 256 = 0$

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 256$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $x - 256$ к $0$ .

$x - 256 = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $256$ к обеим частям уравнения.

$x = 256$

Этап 3.5

Приравняем $x^{2} + 256 x + 65536$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x^{2} + 256 x + 65536$ к $0$ .

$x^{2} + 256 x + 65536 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $x^{2} + 256 x + 65536 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 256$ и $c = 65536$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 256 \pm \sqrt{256^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 65536)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.1

Возведем $256$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 1 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 65536$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 4 \cdot 65536}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{65536 - 262144}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.3

Вычтем $262144$ из $65536$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 196608}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.4

Перепишем $- 196608$ в виде $- 1 (196608)$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1 \cdot 196608}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (196608)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}$ .

$x = \frac{- 256 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{196608}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.7

Перепишем $196608$ в виде $256^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $65536$ из $196608$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{65536 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.7.2

Перепишем $65536$ в виде $256^{2}$ .

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot \sqrt{256^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 256 \pm i \cdot (256 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.1.9

Перенесем $256$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 256 \pm 256 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 128 \pm 128 i \sqrt{3}$

Этап 3.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$

Этап 3.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 256) (x^{2} + 256 x + 65536) = 0$ верно.

$x = 256, - 128 + 128 i \sqrt{3}, - 128 - 128 i \sqrt{3}$