Алгебра Примеры

$y = - {(x - 3)}^{2} - 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 3$

$k = - 1$

Этап 1.2

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 1.3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(3, - 1)$

Этап 1.4

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(3, - \frac{5}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{3}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, - 1)$

Фокус: $(3, - \frac{5}{4})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = - \frac{3}{4}$

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, - 1)$

Фокус: $(3, - \frac{5}{4})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = - \frac{3}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - {(2)}^{2} + 6 (2) - 10$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = - 1 \cdot 4 + 6 (2) - 10$

Этап 2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (2) = - 4 + 6 (2) - 10$

Этап 2.2.1.3

Умножим $6$ на $2$ .

$f (2) = - 4 + 12 - 10$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $- 4$ и $12$ .

$f (2) = 8 - 10$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $10$ из $8$ .

$f (2) = - 2$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = 2$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{2} + 6 (1) - 10$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 (1) - 10$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 (1) - 10$

Этап 2.5.1.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 10$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $- 1$ и $6$ .

$f (1) = 5 - 10$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f (1) = - 5$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = 1$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = - {(4)}^{2} + 6 (4) - 10$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 6 (4) - 10$

Этап 2.8.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f (4) = - 16 + 6 (4) - 10$

Этап 2.8.1.3

Умножим $6$ на $4$ .

$f (4) = - 16 + 24 - 10$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Добавим $- 16$ и $24$ .

$f (4) = 8 - 10$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $10$ из $8$ .

$f (4) = - 2$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = 4$ равно $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = - {(5)}^{2} + 6 (5) - 10$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = - 1 \cdot 25 + 6 (5) - 10$

Этап 2.11.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$f (5) = - 25 + 6 (5) - 10$

Этап 2.11.1.3

Умножим $6$ на $5$ .

$f (5) = - 25 + 30 - 10$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Добавим $- 25$ и $30$ .

$f (5) = 5 - 10$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $10$ из $5$ .

$f (5) = - 5$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 5$ равно $- 5$ .

$y = - 5$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 2 \\ 3 & - 1 \\ 4 & - 2 \\ 5 & - 5 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(3, - 1)$

Фокус: $(3, - \frac{5}{4})$

Ось симметрии: $x = 3$

Директриса: $y = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 5 \\ 2 & - 2 \\ 3 & - 1 \\ 4 & - 2 \\ 5 & - 5 \end{array}$

Этап 4