Алгебра Примеры

$\log_{x} (125) = - 3$

Этап 1

Перепишем $\log_{x} (125) = - 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{- 3} = 125$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} = 125$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 2.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{1}{x^{3}} = 125$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{3}} = 125$ на $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{3}} x^{3} = 125 x^{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 125 x^{3}$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $125 x^{3} = 1$ .

$125 x^{3} = 1$

Этап 2.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$125 x^{3} - 1 = 0$

Этап 2.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем $125 x^{3}$ в виде ${(5 x)}^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1 = 0$

Этап 2.4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

${(5 x)}^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 2.4.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = 5 x$ и $b = 1$ .

$(5 x - 1) ({(5 x)}^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Применим правило умножения к $5 x$ .

$(5 x - 1) (5^{2} x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.4.3.4.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.4.3.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.4.3.4.4

Единица в любой степени равна единице.

$(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$

Этап 2.4.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 x - 1 = 0$

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Этап 2.4.5

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Этап 2.4.5.2

Решим $5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 2.4.5.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.4.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.4.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 2.4.6

Приравняем $25 x^{2} + 5 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.1

Приравняем $25 x^{2} + 5 x + 1$ к $0$ .

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Этап 2.4.6.2

Решим $25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4.6.2.2

Подставим значения $a = 25$ , $b = 5$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 100$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Этап 2.4.6.2.3.2

Умножим $2$ на $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Этап 2.4.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Этап 2.4.6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Этап 2.4.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5 x - 1) (25 x^{2} + 5 x + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$