Алгебра Примеры

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x - 2} = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x + 5} - \sqrt{x - 2} - 3 = 0$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sqrt{2 x + 5}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $\sqrt{x - 2}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x + 5} - 3 = \sqrt{x - 2}$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x + 5} = \sqrt{x - 2} + 3$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 5}}^{2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 5}$ в виде ${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 5)}^{1} = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$2 x + 5 = {(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x - 2} + 3)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$ .

$2 x + 5 = (\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x - 2} + 3) (\sqrt{x - 2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} (\sqrt{x - 2} + 3) + 3 (\sqrt{x - 2} + 3)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 (\sqrt{x - 2} + 3)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 5 = \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{1 + 1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 5 = {\sqrt{x - 2}}^{2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 5 = {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 5 = {(x - 2)}^{1} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$2 x + 5 = x - 2 + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{x - 2}$ .

$2 x + 5 = x - 2 + 3 \cdot \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$2 x + 5 = x - 2 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + 9$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $- 2$ и $9$ .

$2 x + 5 = x + 7 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2}$

Этап 4.3.1.3.3

Добавим $3 \sqrt{x - 2}$ и $3 \sqrt{x - 2}$ .

$2 x + 5 = x + 7 + 6 \sqrt{x - 2}$

Этап 5

Решим относительно $6 \sqrt{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x + 7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5$ .

$x + 7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $6 \sqrt{x - 2}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$7 + 6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5 - x$

Этап 5.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{x - 2} = 2 x + 5 - x - 7$

Этап 5.2.3

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$6 \sqrt{x - 2} = x + 5 - 7$

Этап 5.2.4

Вычтем $7$ из $5$ .

$6 \sqrt{x - 2} = x - 2$

Этап 6

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(x - 2)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Упростим.

$36 (x - 2) = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x + 36 \cdot - 2 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $36$ на $- 2$ .

$36 x - 72 = {(x - 2)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим ${(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем ${(x - 2)}^{2}$ в виде $(x - 2) (x - 2)$ .

$36 x - 72 = (x - 2) (x - 2)$

Этап 7.3.1.2

Развернем $(x - 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 72 = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

Этап 7.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 72 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

Этап 7.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 72 = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 7.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 72 = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 7.3.1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

Этап 7.3.1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

Этап 7.3.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$36 x - 72 = x^{2} - 4 x + 4$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 = 36 x - 72$

Этап 8.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $36 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 4 x + 4 - 36 x = - 72$

Этап 8.2.2

Вычтем $36 x$ из $- 4 x$ .

$x^{2} - 40 x + 4 = - 72$

Этап 8.3

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - 40 x + 4 + 72 = 0$

Этап 8.4

Добавим $4$ и $72$ .

$x^{2} - 40 x + 76 = 0$

Этап 8.5

Разложим $x^{2} - 40 x + 76$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $76$ , а сумма — $- 40$ .

$- 38, - 2$

Этап 8.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 38) (x - 2) = 0$

Этап 8.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 38 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 8.7

Приравняем $x - 38$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Приравняем $x - 38$ к $0$ .

$x - 38 = 0$

Этап 8.7.2

Добавим $38$ к обеим частям уравнения.

$x = 38$

Этап 8.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 8.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 38) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 38, 2$