Алгебра Примеры

$e^{x} + e^{- x} = 8$

Этап 1

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 8$

Этап 2

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 8$

Этап 3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 8$

Этап 4

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 4.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 4.2

Каждый член в $u + \frac{1}{u} = 8$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим каждый член $u + \frac{1}{u} = 8$ на $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 8 u$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 8 u$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 8 u$

Этап 4.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u^{2} + 1 = 8 u$

Этап 4.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $8 u$ из обеих частей уравнения.

$u^{2} + 1 - 8 u = 0$

Этап 4.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.3.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.3

Вычтем $4$ из $64$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.4

Перепишем $60$ в виде $2^{2} \cdot 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $60$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Этап 4.3.4.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$u = 4 \pm \sqrt{15}$

Этап 4.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 4 + \sqrt{15}, 4 - \sqrt{15}$

Этап 5

Подставим $4 + \sqrt{15}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$4 + \sqrt{15} = e^{x}$

Этап 6

Решим $4 + \sqrt{15} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 4 + \sqrt{15}$ .

$e^{x} = 4 + \sqrt{15}$

Этап 6.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 + \sqrt{15})$

Этап 6.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (4 + \sqrt{15})$

Этап 6.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 + \sqrt{15})$

Этап 6.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (4 + \sqrt{15})$

Этап 7

Подставим $4 - \sqrt{15}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$4 - \sqrt{15} = e^{x}$

Этап 8

Решим $4 - \sqrt{15} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = 4 - \sqrt{15}$ .

$e^{x} = 4 - \sqrt{15}$

Этап 8.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 - \sqrt{15})$

Этап 8.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (4 - \sqrt{15})$

Этап 8.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 - \sqrt{15})$

Этап 8.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (4 - \sqrt{15})$

Этап 9

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \ln (4 + \sqrt{15}), \ln (4 - \sqrt{15})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \ln (4 + \sqrt{15}), \ln (4 - \sqrt{15})$

Десятичная форма:

$x = 2.06343706 \dots, - 2.06343706 \dots$