Алгебра Примеры

$\log_{2} (x + 7) + \log_{2} (x - 7) = 5$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 7) (x - 7)) = 5$

Этап 1.2

Развернем $(x + 7) (x - 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x (x - 7) + 7 (x - 7)) = 5$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 (x - 7)) = 5$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7) = 5$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 7 + 7 x + 7 \cdot - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 7$ и $7 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x - 7 x + 7 x + 7 \cdot - 7) = 5$

Этап 1.3.1.2

Добавим $- 7 x$ и $7 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 7 \cdot - 7) = 5$

Этап 1.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 7 \cdot - 7) = 5$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 7 \cdot - 7) = 5$

Этап 1.3.2.2

Умножим $7$ на $- 7$ .

$\log_{2} (x^{2} - 49) = 5$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (x^{2} - 49) = 5$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{5} = x^{2} - 49$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 49 = 2^{5}$ .

$x^{2} - 49 = 2^{5}$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x^{2} - 49 = 32$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $49$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 32 + 49$

Этап 3.3.2

Добавим $32$ и $49$ .

$x^{2} = 81$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 9$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 9$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 9$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 9, - 9$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x + 7) + \log_{2} (x - 7) = 5$ истинным.

$x = 9$