Алгебра Примеры

$8 x^{3} + 27 = 0$

Этап 1

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

${(2 x)}^{3} + 27 = 0$

Этап 2

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

${(2 x)}^{3} + 3^{3} = 0$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 2 x$ и $b = 3$ .

$(2 x + 3) ({(2 x)}^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $2 x$ .

$(2 x + 3) (2^{2} x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 4.4

Умножим $3$ на $- 2$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 4.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$4 x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Этап 6

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 x + 3$ к $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 3$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 7

Приравняем $4 x^{2} - 6 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $4 x^{2} - 6 x + 9$ к $0$ .

$4 x^{2} - 6 x + 9 = 0$

Этап 7.2

Решим $4 x^{2} - 6 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 6$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 7.2.3.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 7.2.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 7.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Этап 7.2.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$

Этап 7.2.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 i \sqrt{3}}{8}$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 7.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 3) (4 x^{2} - 6 x + 9) = 0$ верно.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{4}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{4}$