Алгебра Примеры

${(3 x + 2 y)}^{3}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(3 x)}^{3 - k} \cdot {(2 y)}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(3 x)}^{3 - 0} \cdot {(2 y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(3 x)}^{3 - 1} \cdot {(2 y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(3 x)}^{3 - 2} \cdot {(2 y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(3 x)}^{3 - 3} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(3 x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(3 x)}^{3}$ на $1$ .

${(3 x)}^{3} \cdot {(2 y)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 x$ .

$3^{3} x^{3} \cdot {(2 y)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 x^{3} \cdot {(2 y)}^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $2 y$ .

$27 x^{3} \cdot (2^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 \cdot 2^{0} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 \cdot 1 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.7

Умножим $27$ на $1$ .

$27 x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.9

Умножим $27$ на $1$ .

$27 x^{3} + 3 \cdot {(3 x)}^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $3 x$ .

$27 x^{3} + 3 \cdot (3^{2} x^{2}) \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.11

Умножим $3$ на $3^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Перенесем $3^{2}$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3 \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.11.2

Умножим $3^{2}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$27 x^{3} + 3^{2} \cdot 3^{1} \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$27 x^{3} + 3^{2 + 1} \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.11.3

Добавим $2$ и $1$ .

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1} + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.12

Упростим $3^{3} \cdot x^{2} \cdot {(2 y)}^{1}$ .

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot x^{2} \cdot (2 y) + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.13

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{3} + 3^{3} \cdot 2 x^{2} y + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.14

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 x^{3} + 27 \cdot 2 x^{2} y + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.15

Умножим $27$ на $2$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 3 \cdot {(3 x)}^{1} \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.16

Упростим.

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 3 \cdot (3 x) \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.17

Умножим $3$ на $3$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 9 x \cdot {(2 y)}^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.18

Применим правило умножения к $2 y$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 9 x \cdot (2^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.19

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 9 \cdot 2^{2} x y^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.20

Возведем $2$ в степень $2$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 9 \cdot 4 x y^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.21

Умножим $9$ на $4$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.22

Умножим ${(3 x)}^{0}$ на $1$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(3 x)}^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $3 x$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 3^{0} x^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.24

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.25

Умножим $x^{0}$ на $1$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + x^{0} \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.26

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 1 \cdot {(2 y)}^{3}$

Этап 4.27

Умножим ${(2 y)}^{3}$ на $1$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + {(2 y)}^{3}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $2 y$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 2^{3} y^{3}$

Этап 4.29

Возведем $2$ в степень $3$ .

$27 x^{3} + 54 x^{2} y + 36 x y^{2} + 8 y^{3}$