Алгебра Примеры

$y = x^{2} + 4 x - 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для $x^{2} + 4 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = - 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = - 1 - \frac{4}{1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = - 1 - 1 \cdot 4$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 1 - 4$

Этап 1.1.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$e = - 5$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(x + 2)}^{2} - 5$ .

${(x + 2)}^{2} - 5$

Этап 1.1.2

Приравняем $y$ к новой правой части.

$y = {(x + 2)}^{2} - 5$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = - 2$

$k = - 5$

Этап 1.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 2, - 5)$

Этап 1.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 2, - \frac{19}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 2$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{21}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 2, - 5)$

Фокус: $(- 2, - \frac{19}{4})$

Ось симметрии: $x = - 2$

Директриса: $y = - \frac{21}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 2, - 5)$

Фокус: $(- 2, - \frac{19}{4})$

Ось симметрии: $x = - 2$

Директриса: $y = - \frac{21}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{2} + 4 (- 3) - 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = 9 + 4 (- 3) - 1$

Этап 2.2.1.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$f (- 3) = 9 - 12 - 1$

Этап 2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем $12$ из $9$ .

$f (- 3) = - 3 - 1$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$f (- 3) = - 4$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.3

Значение $y$ при $x = - 3$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = {(- 4)}^{2} + 4 (- 4) - 1$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = 16 + 4 (- 4) - 1$

Этап 2.5.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$f (- 4) = 16 - 16 - 1$

Этап 2.5.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $16$ из $16$ .

$f (- 4) = 0 - 1$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (- 4) = - 1$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 2.6

Значение $y$ при $x = - 4$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) - 1$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 + 4 (- 1) - 1$

Этап 2.8.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 4 - 1$

Этап 2.8.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (- 1) = - 3 - 1$

Этап 2.8.2.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$f (- 1) = - 4$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$- 4$

Этап 2.9

Значение $y$ при $x = - 1$ равно $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} + 4 (0) - 1$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 4 (0) - 1$

Этап 2.11.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 1$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 - 1$

Этап 2.11.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = - 1$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 2.12

Значение $y$ при $x = 0$ равно $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 1 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 1 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 2, - 5)$

Фокус: $(- 2, - \frac{19}{4})$

Ось симметрии: $x = - 2$

Директриса: $y = - \frac{21}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 1 \\ - 3 & - 4 \\ - 2 & - 5 \\ - 1 & - 4 \\ 0 & - 1 \end{array}$

Этап 4