Алгебра Примеры

$x = \sqrt{x + 13} + 7$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $\sqrt{x + 13}$ из обеих частей уравнения.

$x - \sqrt{x + 13} = 7$

Этап 1.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x - \sqrt{x + 13} - 7 = 0$

Этап 2

Перенесем все члены без $- \sqrt{x + 13}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- \sqrt{x + 13} - 7 = - x$

Этап 2.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$- \sqrt{x + 13} = - x + 7$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- \sqrt{x + 13})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 13}$ в виде ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2.1.3

Умножим ${({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ на $1$ .

${({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(x + 13)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 13)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 13)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 13)}^{1} = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.2.1.5

Упростим.

$x + 13 = {(- x + 7)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(- x + 7)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(- x + 7)}^{2}$ в виде $(- x + 7) (- x + 7)$ .

$x + 13 = (- x + 7) (- x + 7)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(- x + 7) (- x + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 13 = - x (- x + 7) + 7 (- x + 7)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 13 = - x (- x) - x \cdot 7 + 7 (- x + 7)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 13 = - x (- x) - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x + 13 = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x + 13 = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x + 13 = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 13 = 1 x^{2} - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x + 13 = x^{2} - x \cdot 7 + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $7$ на $- 1$ .

$x + 13 = x^{2} - 7 x + 7 (- x) + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $7$ .

$x + 13 = x^{2} - 7 x - 7 x + 7 \cdot 7$

Этап 4.3.1.3.1.7

Умножим $7$ на $7$ .

$x + 13 = x^{2} - 7 x - 7 x + 49$

Этап 4.3.1.3.2

Вычтем $7 x$ из $- 7 x$ .

$x + 13 = x^{2} - 14 x + 49$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 14 x + 49 = x + 13$

Этап 5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 14 x + 49 - x = 13$

Этап 5.2.2

Вычтем $x$ из $- 14 x$ .

$x^{2} - 15 x + 49 = 13$

Этап 5.3

Вычтем $13$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 15 x + 49 - 13 = 0$

Этап 5.4

Вычтем $13$ из $49$ .

$x^{2} - 15 x + 36 = 0$

Этап 5.5

Разложим $x^{2} - 15 x + 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $36$ , а сумма — $- 15$ .

$- 12, - 3$

Этап 5.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 12) (x - 3) = 0$

Этап 5.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.7

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 5.7.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 5.8

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.8.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 12) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 12, 3$

Этап 6

Исключим решения, которые не делают $x - \sqrt{x + 13} - 7 = 0$ истинным.

$x = 12$