Алгебра Примеры

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{11} - \sqrt{3}}{\sqrt{11} - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{{\sqrt{11}}^{2} - \sqrt{33} + \sqrt{33} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sqrt{11} - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{11} - \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1} {(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1}}{8}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{8}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{2}}{8}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{11} - \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})$ .

$\frac{(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{11} - \sqrt{3}) (\sqrt{11} - \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{11} (\sqrt{11} - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (\sqrt{11} - \sqrt{3})}{8}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{11} \sqrt{11} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{11 \cdot 11} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.2

Умножим $11$ на $11$ .

$\frac{\sqrt{121} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.3

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$\frac{\sqrt{11^{2}} + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{11 + \sqrt{11} (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.5

Умножим $\sqrt{11} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{11 - \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.5.2

Умножим $11$ на $3$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{3} \sqrt{11} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.6

Умножим $- \sqrt{3} \sqrt{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.6.2

Умножим $11$ на $3$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{8}$

Этап 6.1.7

Умножим $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Этап 6.1.7.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Этап 6.1.7.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{8}$

Этап 6.1.7.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{8}$

Этап 6.1.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{8}$

Этап 6.1.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Этап 6.1.8

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Этап 6.1.8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Этап 6.1.8.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 6.1.8.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.8.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Этап 6.1.8.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3^{1}}{8}$

Этап 6.1.8.5

Найдем экспоненту.

$\frac{11 - \sqrt{33} - \sqrt{33} + 3}{8}$

Этап 6.2

Добавим $11$ и $3$ .

$\frac{14 - \sqrt{33} - \sqrt{33}}{8}$

Этап 6.3

Вычтем $\sqrt{33}$ из $- \sqrt{33}$ .

$\frac{14 - 2 \sqrt{33}}{8}$

Этап 7

Сократим общий множитель $14 - 2 \sqrt{33}$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{2 (7) - 2 \sqrt{33}}{8}$

Этап 7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sqrt{33}$ .

$\frac{2 (7) + 2 (- \sqrt{33})}{8}$

Этап 7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (7) + 2 (- \sqrt{33})$ .

$\frac{2 (7 - \sqrt{33})}{8}$

Этап 7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 (7 - \sqrt{33})}{2 \cdot 4}$

Этап 7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (7 - \sqrt{33})}{2 \cdot 4}$

Этап 7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 - \sqrt{33}}{4}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{7 - \sqrt{33}}{4}$

Десятичная форма:

$0.31385933 \dots$