Алгебра Примеры

$x^{4} - 25 x^{2} + 144 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 25 x^{2} + 144 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 25 u + 144$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $144$ , а сумма — $- 25$ .

$- 16, - 9$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 16) (u - 9) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x^{2} - 16) (x^{2} - 9) = 0$

Этап 5

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} - 9) = 0$

Этап 6

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 9) = 0$

Этап 7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 4) (x - 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 9

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 10

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 10.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 11.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 12

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 12.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 13

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 13.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x - 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 4, 4, - 3, 3$