Алгебра Примеры

$x^{\frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} - 15 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2 x^{\frac{1}{3}} - 15 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{3}}$ для всех.

$u^{2} - 2 u - 15 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} - 2 u - 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 15$ , а сумма — $- 2$ .

$- 5, 3$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 3) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(x^{\frac{1}{3}} - 5) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Этап 6

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 5$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = 5$

Этап 6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 5^{3}$

Этап 6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 5^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 5^{3}$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$x = 125$

Этап 7

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 3$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = - 3$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 3)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 3)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 3)}^{3}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$x = - 27$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{1}{3}} - 5) (x^{\frac{1}{3}} + 3) = 0$ верно.

$x = 125, - 27$