Алгебра Примеры

$\log_{5} (x) + \log_{5} (4 x - 1) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} (x (4 x - 1)) = 1$

Этап 1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x (4 x) + x \cdot - 1) = 1$

Этап 1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\log_{5} (4 x \cdot x + x \cdot - 1) = 1$

Этап 1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\log_{5} (4 x \cdot x - 1 \cdot x) = 1$

Этап 1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перенесем $x$ .

$\log_{5} (4 (x \cdot x) - 1 \cdot x) = 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{5} (4 x^{2} - 1 \cdot x) = 1$

Этап 1.3.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\log_{5} (4 x^{2} - x) = 1$

Этап 2

Перепишем $\log_{5} (4 x^{2} - x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{1} = 4 x^{2} - x$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $4 x^{2} - x = 5^{1}$ .

$4 x^{2} - x = 5$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - x - 5 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$4 x^{2} - (x) - 5 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $- 1$ как $4$ плюс $- 5$

$4 x^{2} + (4 - 5) x - 5 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x^{2} + 4 x - 5 x - 5 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 x^{2} + 4 x) - 5 x - 5 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$4 x (x + 1) - 5 (x + 1) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 5) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 5 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3.6

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $4 x - 5$ к $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $4 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 5$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 5$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (4 x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, \frac{5}{4}$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{5} (x) + \log_{5} (4 x - 1) = 1$ истинным.

$x = \frac{5}{4}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{5}{4}$

Десятичная форма:

$x = 1.25$

Форма смешанных чисел:

$x = 1 \frac{1}{4}$