Алгебра Примеры

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x - 3) = 4$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x - 3)) = 4$

Этап 1.2

Развернем $(x + 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x (x - 3) + 3 (x - 3)) = 4$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) = 4$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) = 4$

Этап 1.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 3$ и $3 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) = 4$

Этап 1.3.1.2

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) = 4$

Этап 1.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\log_{2} (x \cdot x + 3 \cdot - 3) = 4$

Этап 1.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + 3 \cdot - 3) = 4$

Этап 1.3.2.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\log_{2} (x^{2} - 9) = 4$

Этап 2

Перепишем $\log_{2} (x^{2} - 9) = 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{4} = x^{2} - 9$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} - 9 = 2^{4}$ .

$x^{2} - 9 = 2^{4}$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x^{2} - 9 = 16$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 16 + 9$

Этап 3.3.2

Добавим $16$ и $9$ .

$x^{2} = 25$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x - 3) = 4$ истинным.

$x = 5$