Алгебра Примеры

$\sqrt{4 y + 16} - \sqrt{y - 5} = 6$

Этап 1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{4 y + 16} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\sqrt{4 (y) + 16} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\sqrt{4 y + 4 \cdot 4} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 y + 4 \cdot 4$ .

$\sqrt{4 (y + 4)} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $4 (y + 4)$ в виде $2^{2} (y + 2^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} (y + 4)} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} (y + 2^{2})} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{y + 2^{2}} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 2.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$2 \sqrt{y + 4} - \sqrt{y - 5} - 6 = 0$

Этап 3

Перенесем все члены без $2 \sqrt{y + 4}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\sqrt{y - 5}$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{y + 4} - 6 = \sqrt{y - 5}$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{y + 4} = \sqrt{y - 5} + 6$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{y + 4})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 4}$ в виде ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(y + 4)}^{1} = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 (y + 4) = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 4 \cdot 4 = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$4 y + 16 = {(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{y - 5} + 6)}^{2}$ в виде $(\sqrt{y - 5} + 6) (\sqrt{y - 5} + 6)$ .

$4 y + 16 = (\sqrt{y - 5} + 6) (\sqrt{y - 5} + 6)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(\sqrt{y - 5} + 6) (\sqrt{y - 5} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 16 = \sqrt{y - 5} (\sqrt{y - 5} + 6) + 6 (\sqrt{y - 5} + 6)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 16 = \sqrt{y - 5} \sqrt{y - 5} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 (\sqrt{y - 5} + 6)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 16 = \sqrt{y - 5} \sqrt{y - 5} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{y - 5} \sqrt{y - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{y - 5}$ в степень $1$ .

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{1} \sqrt{y - 5} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{y - 5}$ в степень $1$ .

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{1} {\sqrt{y - 5}}^{1} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 y + 16 = {\sqrt{y - 5}}^{2} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{y - 5}}^{2}$ в виде $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 5}$ в виде ${(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 16 = {({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$4 y + 16 = {(y - 5)}^{1} + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$4 y + 16 = y - 5 + \sqrt{y - 5} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.3

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{y - 5}$ .

$4 y + 16 = y - 5 + 6 \cdot \sqrt{y - 5} + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$4 y + 16 = y - 5 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \sqrt{y - 5} + 36$

Этап 5.3.1.3.2

Добавим $- 5$ и $36$ .

$4 y + 16 = y + 31 + 6 \sqrt{y - 5} + 6 \sqrt{y - 5}$

Этап 5.3.1.3.3

Добавим $6 \sqrt{y - 5}$ и $6 \sqrt{y - 5}$ .

$4 y + 16 = y + 31 + 12 \sqrt{y - 5}$

Этап 6

Решим относительно $12 \sqrt{y - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $y + 31 + 12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16$ .

$y + 31 + 12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $12 \sqrt{y - 5}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$31 + 12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16 - y$

Этап 6.2.2

Вычтем $31$ из обеих частей уравнения.

$12 \sqrt{y - 5} = 4 y + 16 - y - 31$

Этап 6.2.3

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 5} = 3 y + 16 - 31$

Этап 6.2.4

Вычтем $31$ из $16$ .

$12 \sqrt{y - 5} = 3 y - 15$

Этап 7

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(12 \sqrt{y - 5})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 5}$ в виде ${(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим ${(12 {(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $12 {(y - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$144 {({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$144 {(y - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$144 {(y - 5)}^{1} = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Упростим.

$144 (y - 5) = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y + 144 \cdot - 5 = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.2.1.6

Умножим $144$ на $- 5$ .

$144 y - 720 = {(3 y - 15)}^{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим ${(3 y - 15)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${(3 y - 15)}^{2}$ в виде $(3 y - 15) (3 y - 15)$ .

$144 y - 720 = (3 y - 15) (3 y - 15)$

Этап 8.3.1.2

Развернем $(3 y - 15) (3 y - 15)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 720 = 3 y (3 y - 15) - 15 (3 y - 15)$

Этап 8.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 720 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y - 15)$

Этап 8.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 720 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 y - 720 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$144 y - 720 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$144 y - 720 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 15 - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3.1.4

Умножим $- 15$ на $3$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 45 y - 15 (3 y) - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 15$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 45 y - 45 y - 15 \cdot - 15$

Этап 8.3.1.3.1.6

Умножим $- 15$ на $- 15$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 45 y - 45 y + 225$

Этап 8.3.1.3.2

Вычтем $45 y$ из $- 45 y$ .

$144 y - 720 = 9 y^{2} - 90 y + 225$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 y^{2} - 90 y + 225 = 144 y - 720$

Этап 9.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $144 y$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} - 90 y + 225 - 144 y = - 720$

Этап 9.2.2

Вычтем $144 y$ из $- 90 y$ .

$9 y^{2} - 234 y + 225 = - 720$

Этап 9.3

Добавим $720$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} - 234 y + 225 + 720 = 0$

Этап 9.4

Добавим $225$ и $720$ .

$9 y^{2} - 234 y + 945 = 0$

Этап 9.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} - 234 y + 945$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 234 y + 945 = 0$

Этап 9.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 234 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 26 y) + 945 = 0$

Этап 9.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $945$ .

$9 y^{2} + 9 (- 26 y) + 9 \cdot 105 = 0$

Этап 9.5.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} + 9 (- 26 y)$ .

$9 (y^{2} - 26 y) + 9 \cdot 105 = 0$

Этап 9.5.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (y^{2} - 26 y) + 9 \cdot 105$ .

$9 (y^{2} - 26 y + 105) = 0$

Этап 9.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Разложим $y^{2} - 26 y + 105$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $105$ , а сумма — $- 26$ .

$- 21, - 5$

Этап 9.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((y - 21) (y - 5)) = 0$

Этап 9.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (y - 21) (y - 5) = 0$

Этап 9.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 21 = 0$

$y - 5 = 0$

Этап 9.7

Приравняем $y - 21$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Приравняем $y - 21$ к $0$ .

$y - 21 = 0$

Этап 9.7.2

Добавим $21$ к обеим частям уравнения.

$y = 21$

Этап 9.8

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 9.8.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 9.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (y - 21) (y - 5) = 0$ верно.

$y = 21, 5$