Алгебра Примеры

$y = {(x - 3)}^{2} + 2$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = 1$

$h = 3$

$k = 2$

Этап 1.2

Поскольку

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.3

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(3, 2)$

Этап 1.4

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.4.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 1.5

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 1.5.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(3, \frac{9}{4})$

Этап 1.6

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 3$

Этап 1.7

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 1.7.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{7}{4}$

Этап 1.8

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(3, 2)$

Фокус:

$(3, \frac{9}{4})$

Ось симметрии:

$x = 3$

Директриса:

$y = \frac{7}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(3, 2)$

Фокус:

$(3, \frac{9}{4})$

Ось симметрии:

$x = 3$

Директриса:

$y = \frac{7}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 11$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем

$2$ в степень

$2$ .

$f (2) = 4 - 6 \cdot 2 + 11$

Этап 2.2.1.2

Умножим

$- 6$ на

$2$ .

$f (2) = 4 - 12 + 11$

Этап 2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вычтем

$12$ из

$4$ .

$f (2) = - 8 + 11$

Этап 2.2.2.2

Добавим

$- 8$ и

$11$ .

$f (2) = 3$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.3

Значение

$y$ при

$x = 2$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 11$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1 + 11$

Этап 2.5.1.2

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$f (1) = 1 - 6 + 11$

Этап 2.5.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем

$6$ из

$1$ .

$f (1) = - 5 + 11$

Этап 2.5.2.2

Добавим

$- 5$ и

$11$ .

$f (1) = 6$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

$6$ .

$6$

Этап 2.6

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$6$ .

$y = 6$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$4$ .

$f (4) = {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 11$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Возведем

$4$ в степень

$2$ .

$f (4) = 16 - 6 \cdot 4 + 11$

Этап 2.8.1.2

Умножим

$- 6$ на

$4$ .

$f (4) = 16 - 24 + 11$

Этап 2.8.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Вычтем

$24$ из

$16$ .

$f (4) = - 8 + 11$

Этап 2.8.2.2

Добавим

$- 8$ и

$11$ .

$f (4) = 3$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

$3$ .

$3$

Этап 2.9

Значение

$y$ при

$x = 4$ равно

$3$ .

$y = 3$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$5$ .

$f (5) = {(5)}^{2} - 6 \cdot 5 + 11$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1.1

Возведем

$5$ в степень

$2$ .

$f (5) = 25 - 6 \cdot 5 + 11$

Этап 2.11.1.2

Умножим

$- 6$ на

$5$ .

$f (5) = 25 - 30 + 11$

Этап 2.11.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Вычтем

$30$ из

$25$ .

$f (5) = - 5 + 11$

Этап 2.11.2.2

Добавим

$- 5$ и

$11$ .

$f (5) = 6$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

$6$ .

$6$

Этап 2.12

Значение

$y$ при

$x = 5$ равно

$6$ .

$y = 6$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(3, 2)$

Фокус:

$(3, \frac{9}{4})$

Ось симметрии:

$x = 3$

Директриса:

$y = \frac{7}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 6 \\ 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array}$

Этап 4