Алгебра Примеры

$x = {(y + 2)}^{2}$

Этап 1

Упростим ${(y + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(y + 2)}^{2}$ в виде $(y + 2) (y + 2)$ .

$x = (y + 2) (y + 2)$

Этап 1.2

Развернем $(y + 2) (y + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y (y + 2) + 2 (y + 2)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 (y + 2)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = y \cdot y + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$x = y^{2} + y \cdot 2 + 2 y + 2 \cdot 2$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$x = y^{2} + 2 \cdot y + 2 y + 2 \cdot 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$x = y^{2} + 2 y + 2 y + 4$

Этап 1.3.2

Добавим $2 y$ и $2 y$ .

$x = y^{2} + 4 y + 4$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для $y^{2} + 4 y + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 4$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 2.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 2.1.1.3.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель $4^{2}$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4^{2}$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \cdot 1$ .

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e = 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e = 4 - \frac{4}{1}$

Этап 2.1.1.4.2.1.1.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = 4 - 1 \cdot 4$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = 4 - 4$

Этап 2.1.1.4.2.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной ${(y + 2)}^{2} + 0$ .

${(y + 2)}^{2} + 0$

Этап 2.1.2

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = {(y + 2)}^{2} + 0$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = 1$

$h = 0$

$k = - 2$

Этап 2.3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вправо.

вправо

Этап 2.4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(0, - 2)$

Этап 2.5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 2.5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате x $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$(h + p, k)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\frac{1}{4}, - 2)$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$y = - 2$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это вертикальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из x-координаты вершины $h$ , если ветви параболы направлены влево или вправо.

$x = h - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения $p$ и $h$ в формулу и упростим.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, - 2)$

Фокус: $(\frac{1}{4}, - 2)$

Ось симметрии: $y = - 2$

Директриса: $x = - \frac{1}{4}$

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, - 2)$

Фокус: $(\frac{1}{4}, - 2)$

Ось симметрии: $y = - 2$

Директриса: $x = - \frac{1}{4}$

Этап 3

Выберем несколько значений $x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения $y$ . Значения $x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = \sqrt{x} - 2$ . В данном случае получится точка $(1, - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \sqrt{1} - 2$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = \sqrt{1} - 2$

Этап 3.1.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = 1 - 2$

Этап 3.1.2.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = - 1$

Этап 3.1.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 3.1.3

Преобразуем $- 1$ в десятичное представление.

$= - 1$

Этап 3.2

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = - \sqrt{x} - 2$ . В данном случае получится точка $(1, - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - \sqrt{1} - 2$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = - \sqrt{1} - 2$

Этап 3.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2$

Этап 3.2.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 - 2$

Этап 3.2.2.3

Вычтем $2$ из $- 1$ .

$f (1) = - 3$

Этап 3.2.2.4

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 3.2.3

Преобразуем $- 3$ в десятичное представление.

$= - 3$

Этап 3.3

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = \sqrt{x} - 2$ . В данном случае получится точка $(2, - 0.58578643)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \sqrt{2} - 2$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = \sqrt{2} - 2$

Этап 3.3.2.2

Окончательный ответ: $\sqrt{2} - 2$ .

$y = \sqrt{2} - 2$

Этап 3.3.3

Преобразуем $\sqrt{2} - 2$ в десятичное представление.

$= - 0.58578643$

Этап 3.4

Подставим значение $x$ $2$ в $f (x) = - \sqrt{x} - 2$ . В данном случае получится точка $(2, - 3.41421356)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = - \sqrt{2} - 2$

Этап 3.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2) = - \sqrt{2} - 2$

Этап 3.4.2.2

Окончательный ответ: $- \sqrt{2} - 2$ .

$y = - \sqrt{2} - 2$

Этап 3.4.3

Преобразуем $- \sqrt{2} - 2$ в десятичное представление.

$= - 3.41421356$

Этап 3.5

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 0.59 \\ 2 & - 3.41 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вправо

Вершина: $(0, - 2)$

Фокус: $(\frac{1}{4}, - 2)$

Ось симметрии: $y = - 2$

Директриса: $x = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & - 3 \\ 2 & - 0.59 \\ 2 & - 3.41 \end{array}$

Этап 5