Алгебра Примеры

$\sqrt{4 y + 12} - \sqrt{y - 6} = 6$

Этап 1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{4 y + 12} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\sqrt{4 (y) + 12} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\sqrt{4 y + 4 \cdot 3} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 y + 4 \cdot 3$ .

$\sqrt{4 (y + 3)} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Этап 2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} (y + 3)} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Этап 2.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$2 \sqrt{y + 3} - \sqrt{y - 6} - 6 = 0$

Этап 3

Перенесем все члены без $2 \sqrt{y + 3}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\sqrt{y - 6}$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{y + 3} - 6 = \sqrt{y - 6}$

Этап 3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$2 \sqrt{y + 3} = \sqrt{y - 6} + 6$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{y + 3})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 3}$ в виде ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(2 {(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(y + 3)}^{1} = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$4 (y + 3) = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 4 \cdot 3 = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $4$ на $3$ .

$4 y + 12 = {(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{y - 6} + 6)}^{2}$ в виде $(\sqrt{y - 6} + 6) (\sqrt{y - 6} + 6)$ .

$4 y + 12 = (\sqrt{y - 6} + 6) (\sqrt{y - 6} + 6)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(\sqrt{y - 6} + 6) (\sqrt{y - 6} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 12 = \sqrt{y - 6} (\sqrt{y - 6} + 6) + 6 (\sqrt{y - 6} + 6)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 12 = \sqrt{y - 6} \sqrt{y - 6} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 (\sqrt{y - 6} + 6)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 12 = \sqrt{y - 6} \sqrt{y - 6} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{y - 6} \sqrt{y - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{y - 6}$ в степень $1$ .

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{1} \sqrt{y - 6} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{y - 6}$ в степень $1$ .

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{1} {\sqrt{y - 6}}^{1} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 y + 12 = {\sqrt{y - 6}}^{2} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{y - 6}}^{2}$ в виде $y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 6}$ в виде ${(y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 12 = {({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$4 y + 12 = {(y - 6)}^{1} + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$4 y + 12 = y - 6 + \sqrt{y - 6} \cdot 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.3

Перенесем $6$ влево от $\sqrt{y - 6}$ .

$4 y + 12 = y - 6 + 6 \cdot \sqrt{y - 6} + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \cdot 6$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $6$ на $6$ .

$4 y + 12 = y - 6 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \sqrt{y - 6} + 36$

Этап 5.3.1.3.2

Добавим $- 6$ и $36$ .

$4 y + 12 = y + 30 + 6 \sqrt{y - 6} + 6 \sqrt{y - 6}$

Этап 5.3.1.3.3

Добавим $6 \sqrt{y - 6}$ и $6 \sqrt{y - 6}$ .

$4 y + 12 = y + 30 + 12 \sqrt{y - 6}$

Этап 6

Решим относительно $12 \sqrt{y - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $y + 30 + 12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12$ .

$y + 30 + 12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $12 \sqrt{y - 6}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$30 + 12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12 - y$

Этап 6.2.2

Вычтем $30$ из обеих частей уравнения.

$12 \sqrt{y - 6} = 4 y + 12 - y - 30$

Этап 6.2.3

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$12 \sqrt{y - 6} = 3 y + 12 - 30$

Этап 6.2.4

Вычтем $30$ из $12$ .

$12 \sqrt{y - 6} = 3 y - 18$

Этап 7

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(12 \sqrt{y - 6})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 6}$ в виде ${(y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(12 {(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим ${(12 {(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $12 {(y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$12^{2} {({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $12$ в степень $2$ .

$144 {({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 {(y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$144 {(y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$144 {(y - 6)}^{1} = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Упростим.

$144 (y - 6) = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y + 144 \cdot - 6 = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.2.1.6

Умножим $144$ на $- 6$ .

$144 y - 864 = {(3 y - 18)}^{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим ${(3 y - 18)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${(3 y - 18)}^{2}$ в виде $(3 y - 18) (3 y - 18)$ .

$144 y - 864 = (3 y - 18) (3 y - 18)$

Этап 8.3.1.2

Развернем $(3 y - 18) (3 y - 18)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 864 = 3 y (3 y - 18) - 18 (3 y - 18)$

Этап 8.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 864 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y - 18)$

Этап 8.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$144 y - 864 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$144 y - 864 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$144 y - 864 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$144 y - 864 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 18 - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3.1.4

Умножим $- 18$ на $3$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 54 y - 18 (3 y) - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 18$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 54 y - 54 y - 18 \cdot - 18$

Этап 8.3.1.3.1.6

Умножим $- 18$ на $- 18$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 54 y - 54 y + 324$

Этап 8.3.1.3.2

Вычтем $54 y$ из $- 54 y$ .

$144 y - 864 = 9 y^{2} - 108 y + 324$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 y^{2} - 108 y + 324 = 144 y - 864$

Этап 9.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $144 y$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} - 108 y + 324 - 144 y = - 864$

Этап 9.2.2

Вычтем $144 y$ из $- 108 y$ .

$9 y^{2} - 252 y + 324 = - 864$

Этап 9.3

Добавим $864$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} - 252 y + 324 + 864 = 0$

Этап 9.4

Добавим $324$ и $864$ .

$9 y^{2} - 252 y + 1188 = 0$

Этап 9.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} - 252 y + 1188$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 252 y + 1188 = 0$

Этап 9.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 252 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 28 y) + 1188 = 0$

Этап 9.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $1188$ .

$9 y^{2} + 9 (- 28 y) + 9 \cdot 132 = 0$

Этап 9.5.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} + 9 (- 28 y)$ .

$9 (y^{2} - 28 y) + 9 \cdot 132 = 0$

Этап 9.5.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (y^{2} - 28 y) + 9 \cdot 132$ .

$9 (y^{2} - 28 y + 132) = 0$

Этап 9.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Разложим $y^{2} - 28 y + 132$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $132$ , а сумма — $- 28$ .

$- 22, - 6$

Этап 9.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((y - 22) (y - 6)) = 0$

Этап 9.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (y - 22) (y - 6) = 0$

Этап 9.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 22 = 0$

$y - 6 = 0$

Этап 9.7

Приравняем $y - 22$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Приравняем $y - 22$ к $0$ .

$y - 22 = 0$

Этап 9.7.2

Добавим $22$ к обеим частям уравнения.

$y = 22$

Этап 9.8

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

Этап 9.8.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

Этап 9.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (y - 22) (y - 6) = 0$ верно.

$y = 22, 6$