Алгебра Примеры

$\sqrt{4 y + 1} - \sqrt{y - 2} = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{4 y + 1} - \sqrt{y - 2} - 3 = 0$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sqrt{4 y + 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $\sqrt{y - 2}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 y + 1} - 3 = \sqrt{y - 2}$

Этап 2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 y + 1} = \sqrt{y - 2} + 3$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 y + 1}}^{2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 y + 1}$ в виде ${(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 y + 1)}^{1} = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$4 y + 1 = {(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{y - 2} + 3)}^{2}$ в виде $(\sqrt{y - 2} + 3) (\sqrt{y - 2} + 3)$ .

$4 y + 1 = (\sqrt{y - 2} + 3) (\sqrt{y - 2} + 3)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(\sqrt{y - 2} + 3) (\sqrt{y - 2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 1 = \sqrt{y - 2} (\sqrt{y - 2} + 3) + 3 (\sqrt{y - 2} + 3)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 1 = \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 (\sqrt{y - 2} + 3)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 1 = \sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{y - 2} \sqrt{y - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{y - 2}$ в степень $1$ .

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{1} \sqrt{y - 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{y - 2}$ в степень $1$ .

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{1} {\sqrt{y - 2}}^{1} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{1 + 1} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 y + 1 = {\sqrt{y - 2}}^{2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{y - 2}}^{2}$ в виде $y - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 2}$ в виде ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 y + 1 = {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$4 y + 1 = {(y - 2)}^{1} + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$4 y + 1 = y - 2 + \sqrt{y - 2} \cdot 3 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.3

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{y - 2}$ .

$4 y + 1 = y - 2 + 3 \cdot \sqrt{y - 2} + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \cdot 3$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $3$ на $3$ .

$4 y + 1 = y - 2 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \sqrt{y - 2} + 9$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $- 2$ и $9$ .

$4 y + 1 = y + 7 + 3 \sqrt{y - 2} + 3 \sqrt{y - 2}$

Этап 4.3.1.3.3

Добавим $3 \sqrt{y - 2}$ и $3 \sqrt{y - 2}$ .

$4 y + 1 = y + 7 + 6 \sqrt{y - 2}$

Этап 5

Решим относительно $6 \sqrt{y - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $y + 7 + 6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1$ .

$y + 7 + 6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $6 \sqrt{y - 2}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$7 + 6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1 - y$

Этап 5.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{y - 2} = 4 y + 1 - y - 7$

Этап 5.2.3

Вычтем $y$ из $4 y$ .

$6 \sqrt{y - 2} = 3 y + 1 - 7$

Этап 5.2.4

Вычтем $7$ из $1$ .

$6 \sqrt{y - 2} = 3 y - 6$

Этап 6

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{y - 2})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y - 2}$ в виде ${(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(6 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $6 {(y - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 {({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(y - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(y - 2)}^{1} = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Упростим.

$36 (y - 2) = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 y + 36 \cdot - 2 = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $36$ на $- 2$ .

$36 y - 72 = {(3 y - 6)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим ${(3 y - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем ${(3 y - 6)}^{2}$ в виде $(3 y - 6) (3 y - 6)$ .

$36 y - 72 = (3 y - 6) (3 y - 6)$

Этап 7.3.1.2

Развернем $(3 y - 6) (3 y - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 y - 72 = 3 y (3 y - 6) - 6 (3 y - 6)$

Этап 7.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 y - 72 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y - 6)$

Этап 7.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 y - 72 = 3 y (3 y) + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 y - 72 = 3 \cdot 3 y \cdot y + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$36 y - 72 = 3 \cdot 3 (y \cdot y) + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$36 y - 72 = 3 \cdot 3 y^{2} + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} + 3 y \cdot - 6 - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $3$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 18 y - 6 (3 y) - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 6$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 18 y - 18 y - 6 \cdot - 6$

Этап 7.3.1.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 18 y - 18 y + 36$

Этап 7.3.1.3.2

Вычтем $18 y$ из $- 18 y$ .

$36 y - 72 = 9 y^{2} - 36 y + 36$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 y^{2} - 36 y + 36 = 36 y - 72$

Этап 8.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $36 y$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} - 36 y + 36 - 36 y = - 72$

Этап 8.2.2

Вычтем $36 y$ из $- 36 y$ .

$9 y^{2} - 72 y + 36 = - 72$

Этап 8.3

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$9 y^{2} - 72 y + 36 + 72 = 0$

Этап 8.4

Добавим $36$ и $72$ .

$9 y^{2} - 72 y + 108 = 0$

Этап 8.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} - 72 y + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2}$ .

$9 (y^{2}) - 72 y + 108 = 0$

Этап 8.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 72 y$ .

$9 (y^{2}) + 9 (- 8 y) + 108 = 0$

Этап 8.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $108$ .

$9 y^{2} + 9 (- 8 y) + 9 \cdot 12 = 0$

Этап 8.5.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 y^{2} + 9 (- 8 y)$ .

$9 (y^{2} - 8 y) + 9 \cdot 12 = 0$

Этап 8.5.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (y^{2} - 8 y) + 9 \cdot 12$ .

$9 (y^{2} - 8 y + 12) = 0$

Этап 8.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1

Разложим $y^{2} - 8 y + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 8.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((y - 6) (y - 2)) = 0$

Этап 8.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (y - 6) (y - 2) = 0$

Этап 8.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 2 = 0$

Этап 8.7

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

Этап 8.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

Этап 8.8

Приравняем $y - 2$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Приравняем $y - 2$ к $0$ .

$y - 2 = 0$

Этап 8.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = 2$

Этап 8.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (y - 6) (y - 2) = 0$ верно.

$y = 6, 2$