Алгебра Примеры

$\sqrt{4 x + 1} - \sqrt{x - 2} = 3$

Этап 1

Добавим $\sqrt{x - 2}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{4 x + 1} = 3 + \sqrt{x - 2}$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{4 x + 1}}^{2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x + 1}$ в виде ${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(4 x + 1)}^{1} = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$4 x + 1 = {(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(3 + \sqrt{x - 2})}^{2}$ в виде $(3 + \sqrt{x - 2}) (3 + \sqrt{x - 2})$ .

$4 x + 1 = (3 + \sqrt{x - 2}) (3 + \sqrt{x - 2})$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(3 + \sqrt{x - 2}) (3 + \sqrt{x - 2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 1 = 3 (3 + \sqrt{x - 2}) + \sqrt{x - 2} (3 + \sqrt{x - 2})$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} (3 + \sqrt{x - 2})$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 1 = 3 \cdot 3 + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \cdot 3 + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{x - 2}$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \cdot \sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x - 2} \sqrt{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.3.1

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1} \sqrt{x - 2}$

Этап 3.3.1.3.1.3.2

Возведем $\sqrt{x - 2}$ в степень $1$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1} {\sqrt{x - 2}}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {\sqrt{x - 2}}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{x - 2}}^{2}$ в виде $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3.1.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.3.1.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + {(x - 2)}^{1}$

Этап 3.3.1.3.1.4.5

Упростим.

$4 x + 1 = 9 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x - 2$

Этап 3.3.1.3.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$4 x + 1 = 7 + 3 \sqrt{x - 2} + 3 \sqrt{x - 2} + x$

Этап 3.3.1.3.3

Добавим $3 \sqrt{x - 2}$ и $3 \sqrt{x - 2}$ .

$4 x + 1 = 7 + 6 \sqrt{x - 2} + x$

Этап 4

Решим относительно $6 \sqrt{x - 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $7 + 6 \sqrt{x - 2} + x = 4 x + 1$ .

$7 + 6 \sqrt{x - 2} + x = 4 x + 1$

Этап 4.2

Перенесем все члены без $6 \sqrt{x - 2}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{x - 2} + x = 4 x + 1 - 7$

Этап 4.2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$6 \sqrt{x - 2} = 4 x + 1 - 7 - x$

Этап 4.2.3

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$6 \sqrt{x - 2} = 3 x + 1 - 7$

Этап 4.2.4

Вычтем $7$ из $1$ .

$6 \sqrt{x - 2} = 3 x - 6$

Этап 5

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(6 \sqrt{x - 2})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим ${(6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило умножения к $6 {(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$36 {({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$36 {(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$36 {(x - 2)}^{1} = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

$36 (x - 2) = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x + 36 \cdot - 2 = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.2.1.6

Умножим $36$ на $- 2$ .

$36 x - 72 = {(3 x - 6)}^{2}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим ${(3 x - 6)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Перепишем ${(3 x - 6)}^{2}$ в виде $(3 x - 6) (3 x - 6)$ .

$36 x - 72 = (3 x - 6) (3 x - 6)$

Этап 6.3.1.2

Развернем $(3 x - 6) (3 x - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 72 = 3 x (3 x - 6) - 6 (3 x - 6)$

Этап 6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 72 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x - 6)$

Этап 6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$36 x - 72 = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$36 x - 72 = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$36 x - 72 = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$36 x - 72 = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.4

Умножим $- 6$ на $3$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 18 x - 6 (3 x) - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.5

Умножим $3$ на $- 6$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x - 6 \cdot - 6$

Этап 6.3.1.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 18 x - 18 x + 36$

Этап 6.3.1.3.2

Вычтем $18 x$ из $- 18 x$ .

$36 x - 72 = 9 x^{2} - 36 x + 36$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$9 x^{2} - 36 x + 36 = 36 x - 72$

Этап 7.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $36 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - 36 x + 36 - 36 x = - 72$

Этап 7.2.2

Вычтем $36 x$ из $- 36 x$ .

$9 x^{2} - 72 x + 36 = - 72$

Этап 7.3

Добавим $72$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} - 72 x + 36 + 72 = 0$

Этап 7.4

Добавим $36$ и $72$ .

$9 x^{2} - 72 x + 108 = 0$

Этап 7.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} - 72 x + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$9 (x^{2}) - 72 x + 108 = 0$

Этап 7.5.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 72 x$ .

$9 (x^{2}) + 9 (- 8 x) + 108 = 0$

Этап 7.5.1.3

Вынесем множитель $9$ из $108$ .

$9 x^{2} + 9 (- 8 x) + 9 \cdot 12 = 0$

Этап 7.5.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2} + 9 (- 8 x)$ .

$9 (x^{2} - 8 x) + 9 \cdot 12 = 0$

Этап 7.5.1.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (x^{2} - 8 x) + 9 \cdot 12$ .

$9 (x^{2} - 8 x + 12) = 0$

Этап 7.5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1

Разложим $x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 7.5.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$9 ((x - 6) (x - 2)) = 0$

Этап 7.5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$9 (x - 6) (x - 2) = 0$

Этап 7.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 7.7

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 7.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 7.8

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.8.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $9 (x - 6) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 6, 2$