Алгебра Примеры

$x^{3} + 27 = 0$

Этап 1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$x^{3} + 3^{3} = 0$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Приравняем $x^{2} - 3 x + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} - 3 x + 9$ к $0$ .

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 3$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3

Вычтем $36$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4

Перепишем $- 27$ в виде $- 1 (27)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (27)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.7

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.7.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.9

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ верно.

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$