Алгебра Примеры

$\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x + 1} = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{2 x + 3} - \sqrt{x + 1} - 1 = 0$

Этап 2

Перенесем все члены без $\sqrt{2 x + 3}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $\sqrt{x + 1}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x + 3} - 1 = \sqrt{x + 1}$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{2 x + 3} = \sqrt{x + 1} + 1$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 x + 3}}^{2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 3}$ в виде ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 x + 3)}^{1} = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Этап 4.2.1.2

Упростим.

$2 x + 3 = {(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим ${(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{x + 1} + 1)}^{2}$ в виде $(\sqrt{x + 1} + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)$ .

$2 x + 3 = (\sqrt{x + 1} + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)$

Этап 4.3.1.2

Развернем $(\sqrt{x + 1} + 1) (\sqrt{x + 1} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 3 = \sqrt{x + 1} (\sqrt{x + 1} + 1) + 1 (\sqrt{x + 1} + 1)$

Этап 4.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 3 = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 (\sqrt{x + 1} + 1)$

Этап 4.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x + 3 = \sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{x + 1} \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{1} \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{x + 1}$ в степень $1$ .

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{1} {\sqrt{x + 1}}^{1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{1 + 1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 3 = {\sqrt{x + 1}}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ в виде $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + 3 = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$2 x + 3 = {(x + 1)}^{1} + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} \cdot 1 + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{x + 1}$ на $1$ .

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} + 1 \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{x + 1}$ на $1$ .

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1 \cdot 1$

Этап 4.3.1.3.1.5

Умножим $1$ на $1$ .

$2 x + 3 = x + 1 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1} + 1$

Этап 4.3.1.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x + 3 = x + 2 + \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}$

Этап 4.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{x + 1}$ и $\sqrt{x + 1}$ .

$2 x + 3 = x + 2 + 2 \sqrt{x + 1}$

Этап 5

Решим относительно $2 \sqrt{x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x + 2 + 2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3$ .

$x + 2 + 2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{x + 1}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 + 2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3 - x$

Этап 5.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{x + 1} = 2 x + 3 - x - 2$

Этап 5.2.3

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 3 - 2$

Этап 5.2.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$2 \sqrt{x + 1} = x + 1$

Этап 6

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 1}$ в виде ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим ${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(x + 1)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.4

Упростим.

$4 (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 \cdot 1 = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.2.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x + 4 = {(x + 1)}^{2}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим ${(x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$4 x + 4 = (x + 1) (x + 1)$

Этап 7.3.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Этап 7.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Этап 7.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 x + 4 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Этап 7.3.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$4 x + 4 = x^{2} + x + x + 1$

Этап 7.3.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$4 x + 4 = x^{2} + 2 x + 1$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 = 4 x + 4$

Этап 8.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x = 4$

Этап 8.2.2

Вычтем $4 x$ из $2 x$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = 4$

Этап 8.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - 4 = 0$

Этап 8.4

Вычтем $4$ из $1$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

Этап 8.5

Разложим $x^{2} - 2 x - 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 3$ , а сумма — $- 2$ .

$- 3, 1$

Этап 8.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 1) = 0$

Этап 8.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 8.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 8.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 8.8

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 8.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 8.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 3, - 1$