Алгебра Примеры

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 1

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Этап 2

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Составим полный квадрат для

$\frac{x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим форму

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

$a$ ,

$b$ и

$c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Этап 2.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение

$d$ по формуле

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим значения

$a$ и

$b$ в формулу

$d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель

$0$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

$0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{0}{\frac{1}{2}}$

Этап 2.1.1.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = 0 \cdot 2$

Этап 2.1.1.3.2.3

Умножим

$0$ на

$2$ .

$d = 0$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение

$e$ по формуле

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Подставим значения

$c$ ,

$b$ и

$a$ в формулу

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.2.1.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{1}{2})}$

Этап 2.1.1.4.2.1.2

Объединим

$4$ и

$\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.1.1.4.2.1.3

Разделим

$4$ на

$2$ .

$e = 0 - \frac{0}{2}$

Этап 2.1.1.4.2.1.4

Разделим

$0$ на

$2$ .

$e = 0 - 0$

Этап 2.1.1.4.2.1.5

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$e = 0 + 0$

Этап 2.1.1.4.2.2

Добавим

$0$ и

$0$ .

$e = 0$

Этап 2.1.1.5

Подставим значения

$a$ ,

$d$ и

$e$ в уравнение с заданной вершиной

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}$

Этап 2.1.2

Приравняем

$y$ к новой правой части.

$y = \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 2.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

$a$ ,

$h$ и

$k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Этап 2.3

Поскольку

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 2.4

Найдем вершину

$(h, k)$ .

$(0, 0)$

Этап 2.5

Найдем

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 2.5.2

Подставим значение

$a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 2.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Объединим

$4$ и

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Этап 2.5.3.2

Разделим

$4$ на

$2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 2.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

$p$ к координате y

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 2.6.2

Подставим известные значения

$h$ ,

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$(0, \frac{1}{2})$

Этап 2.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 0$

Этап 2.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

$p$ из y-координаты вершины

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 2.8.2

Подставим известные значения

$p$ и

$k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 2.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(0, 0)$

Фокус:

$(0, \frac{1}{2})$

Ось симметрии:

$x = 0$

Директриса:

$y = - \frac{1}{2}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(0, 0)$

Фокус:

$(0, \frac{1}{2})$

Ось симметрии:

$x = 0$

Директриса:

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Выберем несколько значений

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

$y$ . Значения

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{2}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель

${(- 2)}^{2}$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем

$- 2$ в виде

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило умножения к

$- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{2}$

Этап 3.2.1.3

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f (- 2) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{2}$

Этап 3.2.1.4

Умножим

$2^{2}$ на

$1$ .

$f (- 2) = \frac{2^{2}}{2}$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель

$2$ из

$2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.2.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.6.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$f (- 2) = \frac{2}{1}$

Этап 3.2.1.6.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$f (- 2) = 2$

Этап 3.2.2

Окончательный ответ:

$2$ .

$2$

Этап 3.3

Значение

$y$ при

$x = - 2$ равно

$2$ .

$y = 2$

Этап 3.4

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$- 1$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2}$

Этап 3.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем

$- 1$ в степень

$2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Этап 3.5.2

Окончательный ответ:

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 3.6

Значение

$y$ при

$x = - 1$ равно

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 3.7

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$2$ .

$f (2) = \frac{{(2)}^{2}}{2}$

Этап 3.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Сократим общий множитель

${(2)}^{2}$ и

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.1

Вынесем множитель

$2$ из

${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2}$

Этап 3.8.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1.2.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2$ .

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Этап 3.8.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{2}{1}$

Этап 3.8.1.2.4

Разделим

$2$ на

$1$ .

$f (2) = 2$

Этап 3.8.2

Окончательный ответ:

$2$ .

$2$

Этап 3.9

Значение

$y$ при

$x = 2$ равно

$2$ .

$y = 2$

Этап 3.10

Заменим в этом выражении переменную

$x$ на

$1$ .

$f (1) = \frac{{(1)}^{2}}{2}$

Этап 3.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{2}$

Этап 3.11.2

Окончательный ответ:

$\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 3.12

Значение

$y$ при

$x = 1$ равно

$\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Этап 3.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 4

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

$(0, 0)$

Фокус:

$(0, \frac{1}{2})$

Ось симметрии:

$x = 0$

Директриса:

$y = - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 2 \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 2 \end{array}$

Этап 5