Алгебра Примеры

y = x^{2} - 1

$y = x^{2} - 1$

Этап 1

Найдем свойства заданной параболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Составим полный квадрат для

x^{2} - 1

$x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Применим форму

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения

a

$a$ ,

b

$b$ и

c

$c$ .

a = 1

$a = 1$

b = 0

$b = 0$

c = - 1

$c = - 1$

Этап 1.1.1.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение

d

$d$ по формуле

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Подставим значения

a

$a$ и

b

$b$ в формулу

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{0}{2 \cdot 1}

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2

Сократим общий множитель

0

$0$ и

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

0

$0$ .

d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.2.2.1

Вынесем множитель

2

$2$ из

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$ .

d = \frac{2 (0)}{2 (1)}

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Этап 1.1.1.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

d = \frac{0}{1}

$d = \frac{0}{1}$

Этап 1.1.1.3.2.2.4

Разделим

0

$0$ на

1

$1$ .

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

d = 0

$d = 0$

Этап 1.1.1.4

Найдем значение

e

$e$ по формуле

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Подставим значения

c

$c$ ,

b

$b$ и

a

$a$ в формулу

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.2.1.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}

$e = - 1 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Этап 1.1.1.4.2.1.2

Умножим

4

$4$ на

1

$1$ .

e = - 1 - \frac{0}{4}

$e = - 1 - \frac{0}{4}$

Этап 1.1.1.4.2.1.3

Разделим

0

$0$ на

4

$4$ .

e = - 1 - 0

$e = - 1 - 0$

Этап 1.1.1.4.2.1.4

Умножим

- 1

$- 1$ на

0

$0$ .

e = - 1 + 0

$e = - 1 + 0$

e = - 1 + 0

$e = - 1 + 0$

Этап 1.1.1.4.2.2

Добавим

- 1

$- 1$ и

0

$0$ .

e = - 1

$e = - 1$

e = - 1

$e = - 1$

e = - 1

$e = - 1$

Этап 1.1.1.5

Подставим значения

a

$a$ ,

d

$d$ и

e

$e$ в уравнение с заданной вершиной

{(x + 0)}^{2} - 1

${(x + 0)}^{2} - 1$ .

{(x + 0)}^{2} - 1

${(x + 0)}^{2} - 1$

{(x + 0)}^{2} - 1

${(x + 0)}^{2} - 1$

Этап 1.1.2

Приравняем

y

$y$ к новой правой части.

y = {(x + 0)}^{2} - 1

$y = {(x + 0)}^{2} - 1$

y = {(x + 0)}^{2} - 1

$y = {(x + 0)}^{2} - 1$

Этап 1.2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения

a

$a$ ,

h

$h$ и

k

$k$ .

a = 1

$a = 1$

h = 0

$h = 0$

k = - 1

$k = - 1$

Этап 1.3

Поскольку

a

$a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 1.4

Найдем вершину

(h, k)

$(h, k)$ .

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Этап 1.5

Найдем

p

$p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Этап 1.5.2

Подставим значение

a

$a$ в формулу.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3

Сократим общий множитель

1

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Сократим общий множитель.

\frac{1}{4 \cdot 1}

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2

Перепишем это выражение.

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

Этап 1.6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Фокус параболы можно найти, добавив

p

$p$ к координате y

k

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Этап 1.6.2

Подставим известные значения

h

$h$ ,

p

$p$ и

k

$k$ в формулу и упростим.

(0, - \frac{3}{4})

$(0, - \frac{3}{4})$

(0, - \frac{3}{4})

$(0, - \frac{3}{4})$

Этап 1.7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

x = 0

$x = 0$

Этап 1.8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием

p

$p$ из y-координаты вершины

k

$k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

y = k - p

$y = k - p$

Этап 1.8.2

Подставим известные значения

p

$p$ и

k

$k$ в формулу и упростим.

y = - \frac{5}{4}

$y = - \frac{5}{4}$

y = - \frac{5}{4}

$y = - \frac{5}{4}$

Этап 1.9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Фокус:

(0, - \frac{3}{4})

$(0, - \frac{3}{4})$

Ось симметрии:

x = 0

$x = 0$

Директриса:

y = - \frac{5}{4}

$y = - \frac{5}{4}$

Направление ветвей: вверх

Вершина:

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Фокус:

(0, - \frac{3}{4})

$(0, - \frac{3}{4})$

Ось симметрии:

x = 0

$x = 0$

Директриса:

y = - \frac{5}{4}

$y = - \frac{5}{4}$

Этап 2

Выберем несколько значений

x

$x$ и подставим их в уравнение, чтобы найти соответствующие значения

y

$y$ . Значения

x

$x$ следует выбрать вблизи вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

- 1

$- 1$ .

f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} - 1$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем

- 1

$- 1$ в степень

2

$2$ .

f (- 1) = 1 - 1

$f (- 1) = 1 - 1$

Этап 2.2.2

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

f (- 1) = 0

$f (- 1) = 0$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 2.3

Значение

y

$y$ при

x = - 1

$x = - 1$ равно

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

Этап 2.4

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

- 2

$- 2$ .

f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 1

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} - 1$

Этап 2.5

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем

- 2

$- 2$ в степень

2

$2$ .

f (- 2) = 4 - 1

$f (- 2) = 4 - 1$

Этап 2.5.2

Вычтем

1

$1$ из

4

$4$ .

f (- 2) = 3

$f (- 2) = 3$

Этап 2.5.3

Окончательный ответ:

3

$3$ .

3

$3$

3

$3$

Этап 2.6

Значение

y

$y$ при

x = - 2

$x = - 2$ равно

3

$3$ .

y = 3

$y = 3$

Этап 2.7

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

1

$1$ .

f (1) = {(1)}^{2} - 1

$f (1) = {(1)}^{2} - 1$

Этап 2.8

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Единица в любой степени равна единице.

f (1) = 1 - 1

$f (1) = 1 - 1$

Этап 2.8.2

Вычтем

1

$1$ из

1

$1$ .

f (1) = 0

$f (1) = 0$

Этап 2.8.3

Окончательный ответ:

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Этап 2.9

Значение

y

$y$ при

x = 1

$x = 1$ равно

0

$0$ .

y = 0

$y = 0$

Этап 2.10

Заменим в этом выражении переменную

x

$x$ на

2

$2$ .

f (2) = {(2)}^{2} - 1

$f (2) = {(2)}^{2} - 1$

Этап 2.11

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

f (2) = 4 - 1

$f (2) = 4 - 1$

Этап 2.11.2

Вычтем

1

$1$ из

4

$4$ .

f (2) = 3

$f (2) = 3$

Этап 2.11.3

Окончательный ответ:

3

$3$ .

3

$3$

3

$3$

Этап 2.12

Значение

y

$y$ при

x = 2

$x = 2$ равно

3

$3$ .

y = 3

$y = 3$

Этап 2.13

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

\begin{matrix} x & y - 2 & 3 - 1 & 0 0 & - 1 1 & 0 2 & 3 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}$

\begin{matrix} x & y - 2 & 3 - 1 & 0 0 & - 1 1 & 0 2 & 3 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 3

Построим график параболы, используя ее свойства и выбранные точки.

Направление ветвей: вверх

Вершина:

(0, - 1)

$(0, - 1)$

Фокус:

(0, - \frac{3}{4})

$(0, - \frac{3}{4})$

Ось симметрии:

x = 0

$x = 0$

Директриса:

y = - \frac{5}{4}

$y = - \frac{5}{4}$

\begin{matrix} x & y - 2 & 3 - 1 & 0 0 & - 1 1 & 0 2 & 3 \end{matrix}

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}$

Этап 4