Алгебра Примеры

$f (x) = 2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$

Этап 1

Приравняем $2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$ к $0$ .

$2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{5} + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{5}$ .

$x (2 x^{4}) + 11 x^{4} + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $11 x^{4}$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + 17 x^{3} + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $17 x^{3}$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + 21 x^{2} + 45 x = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $x$ из $21 x^{2}$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + 45 x = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $x$ из $45 x$ .

$x (2 x^{4}) + x (11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

Этап 2.1.1.6

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{4}) + x (11 x^{3})$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3}) + x (17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

Этап 2.1.1.7

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{4} + 11 x^{3}) + x (17 x^{2})$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2}) + x (21 x) + x \cdot 45 = 0$

Этап 2.1.1.8

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2}) + x (21 x)$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x) + x \cdot 45 = 0$

Этап 2.1.1.9

Вынесем множитель $x$ из $x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x) + x \cdot 45$ .

$x (2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45) = 0$

Этап 2.1.2

Разложим $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 45, \pm 3, \pm 15, \pm 5, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 9, \pm 4.5$

Этап 2.1.2.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

$2 {(- 3)}^{4} + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.2

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$2 \cdot 81 + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $2$ на $81$ .

$162 + 11 {(- 3)}^{3} + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.4

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$162 + 11 \cdot - 27 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $11$ на $- 27$ .

$162 - 297 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.6

Вычтем $297$ из $162$ .

$- 135 + 17 {(- 3)}^{2} + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.7

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 135 + 17 \cdot 9 + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.8

Умножим $17$ на $9$ .

$- 135 + 153 + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.9

Добавим $- 135$ и $153$ .

$18 + 21 \cdot - 3 + 45$

Этап 2.1.2.3.10

Умножим $21$ на $- 3$ .

$18 - 63 + 45$

Этап 2.1.2.3.11

Вычтем $63$ из $18$ .

$- 45 + 45$

Этап 2.1.2.3.12

Добавим $- 45$ и $45$ .

$0$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $- 3$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 3$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45}{x + 3}$

Этап 2.1.2.5

Разделим $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

Этап 2.1.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

Этап 2.1.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 2.1.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{4} + 6 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

Этап 2.1.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

Этап 2.1.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{3} + 15 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

Этап 2.1.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

Этап 2.1.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

Этап 2.1.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Этап 2.1.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + 6 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

Этап 2.1.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

Этап 2.1.2.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

Этап 2.1.2.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

Этап 2.1.2.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

Этап 2.1.2.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x + 45$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

Этап 2.1.2.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

$x$

$3$

$2 x^{4}$

$11 x^{3}$

$17 x^{2}$

$21 x$

$45$

$2 x^{4}$

$6 x^{3}$

$5 x^{3}$

$17 x^{2}$

$5 x^{3}$

$15 x^{2}$

$2 x^{2}$

$21 x$

$2 x^{2}$

$6 x$

$15 x$

$45$

$15 x$

$45$

$0$

Этап 2.1.2.5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$

Этап 2.1.2.6

Запишем $2 x^{4} + 11 x^{3} + 17 x^{2} + 21 x + 45$ в виде набора множителей.

$x ((x + 3) (2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15)) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разложим $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

Этап 2.1.3.1.3

Подставим $- 3$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.3.1

Подставим $- 3$ в многочлен.

$2 {(- 3)}^{3} + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.2

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 27 + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.3

Умножим $2$ на $- 27$ .

$- 54 + 5 {(- 3)}^{2} + 2 \cdot - 3 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.4

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$- 54 + 5 \cdot 9 + 2 \cdot - 3 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.5

Умножим $5$ на $9$ .

$- 54 + 45 + 2 \cdot - 3 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.6

Добавим $- 54$ и $45$ .

$- 9 + 2 \cdot - 3 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.7

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 9 - 6 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.8

Вычтем $6$ из $- 9$ .

$- 15 + 15$

Этап 2.1.3.1.3.9

Добавим $- 15$ и $15$ .

$0$

Этап 2.1.3.1.4

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15}{x + 3}$

Этап 2.1.3.1.5

Разделим $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ на $x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.5.1

$x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$2 x$

$15$

Этап 2.1.3.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$

Этап 2.1.3.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Этап 2.1.3.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Этап 2.1.3.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Этап 2.1.3.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.3.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$

Этап 2.1.3.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Этап 2.1.3.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - 3 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Этап 2.1.3.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$

Этап 2.1.3.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$

Этап 2.1.3.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$

Этап 2.1.3.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							+	$5 x$	+	$15$

Этап 2.1.3.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x + 15$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	-	$15$

Этап 2.1.3.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	-	$x$	+	$5$
$x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	+	$2 x$	+	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
							+	$5 x$	+	$15$
							-	$5 x$	-	$15$
										$0$

Этап 2.1.3.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} - x + 5$

Этап 2.1.3.1.6

Запишем $2 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 15$ в виде набора множителей.

$x ((x + 3) ((x + 3) (2 x^{2} - x + 5))) = 0$

Этап 2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Объединим подобные множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1.1

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Этап 2.1.4.1.2

Возведем $x + 3$ в степень $1$ .

$x ((x + 3) (x + 3) (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Этап 2.1.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x ({(x + 3)}^{1 + 1} (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Этап 2.1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x ({(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5)) = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x {(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$2 x^{2} - x + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5

Приравняем $2 x^{2} - x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x^{2} - x + 5$ к $0$ .

$2 x^{2} - x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x^{2} - x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 1$ и $c = 5$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $5$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 40}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Вычтем $40$ из $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 39}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $- 39$ в виде $- 1 (39)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 39}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (39)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{39}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{39}}{4}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x {(x + 3)}^{2} (2 x^{2} - x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, \frac{1 + i \sqrt{39}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{39}}{4}$

Этап 3