Алгебра Примеры

$3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$6 x - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $6 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$2 (3 x) - 2 + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (3 x) + 2 (- 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$2 (3 x - 1) + 3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{4}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) - 4 x^{3} + x^{2} = 0$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 4 x^{3}$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} = 0$

Этап 1.3.3

Умножим на $1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Этап 1.3.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (3 x^{2} - 4 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Этап 1.4.1.1.2

Запишем $- 4$ как $- 1$ плюс $- 3$

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Этап 1.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Этап 1.4.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Этап 1.4.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Этап 1.4.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$2 (3 x - 1) + x^{2} ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Этап 1.5

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $2 (3 x - 1) + x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $2 (3 x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + x^{2} (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $x^{2} (3 x - 1) (x - 1)$ .

$(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1)) = 0$

Этап 1.5.3

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $(3 x - 1) \cdot 2 + (3 x - 1) (x^{2} (x - 1))$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} (x - 1)) = 0$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Этап 1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Этап 1.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(3 x - 1) (2 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Этап 1.7.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} + x^{2} \cdot - 1) = 0$

Этап 1.8

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - 1 x^{2}) = 0$

Этап 1.9

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$(3 x - 1) (2 + x^{3} - x^{2}) = 0$

Этап 1.10

Изменим порядок членов.

$(3 x - 1) (x^{3} - x^{2} + 2) = 0$

Этап 1.11

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Разложим $x^{3} - x^{2} + 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Этап 1.11.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2$

Этап 1.11.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.11.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 1 - {(- 1)}^{2} + 2$

Этап 1.11.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 1 - 1 \cdot 1 + 2$

Этап 1.11.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - 1 + 2$

Этап 1.11.1.3.5

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$- 2 + 2$

Этап 1.11.1.3.6

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 1.11.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - x^{2} + 2}{x + 1}$

Этап 1.11.1.5

Разделим $x^{3} - x^{2} + 2$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$2$

Этап 1.11.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$

Этап 1.11.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 1.11.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 1.11.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 1.11.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 1.11.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 1.11.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 1.11.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} - 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 1.11.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$

Этап 1.11.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 1.11.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 1.11.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Этап 1.11.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Этап 1.11.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	-	$2$
										$0$

Этап 1.11.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x + 2$

Этап 1.11.1.6

Запишем $x^{3} - x^{2} + 2$ в виде набора множителей.

$(3 x - 1) ((x + 1) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

Этап 1.11.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5

Приравняем $x^{2} - 2 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x^{2} - 2 x + 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Этап 5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + i, 1 - i$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x + 1) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, - 1, 1 + i, 1 - i$

Этап 7